实验四iir数字滤波器设计实验报告

数字信号处理实验报告

数字 信 号 处 理

实验 报 告

班			级	电子信息工程1203 班
学			号	12401720522
指	导	教	师	2015.4.29

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数字信号处理实验报告

实验四IIR数字滤波器的设计
一、实验目的：
1.掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、高通和带通IIR数字滤波器的MATLAB编程。

2.观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。

3.熟悉Butterworth滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率特性。

2．双线性变换法
S 平面与z平面之间满足以下映射关系：

s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完

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双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。

三、实验内容及步骤：

实验中有关变量的定义:
fc 通带边界频率； fr阻带边界频率；δ通带波动；At最小阻带衰减；fs采样频率；T采样周期

（1）=0.3KHz, δ=0.8Db, =0.2KHz, At=20Db,T=1ms;
设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足
要求。
ws=2*1000*tan(2*pi*200/(2*1000));
[N,wn]=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,'s');%给定通带（wp）和阻带(ws)
边界角频率，通带波动波动0.8，阻带最小衰减20dB，求出最低阶数
和通带滤波器的通带边界频率Wn
[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');%给定通带（wp）和阻带(ws)
边界角频率，通带波动
[num,den]=bilinear(B,A,1000);

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plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([0,500,-80,10]);
grid;xlabel('频率');ylabel('幅度/dB')

程序结果

幅频响应图：

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分析：由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰减的。δ=0.8，fr=0.2kHz,At=30Db,满足设计要求

（2）fc=0.2kHz,δ=1dB,fr=0.3kHz,At=25dB,T=1ms;分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。

MATLAB 源程序：
T =0.001;fs = 1000;fc = 200;fr = 300;
wp1 = 2*pi*fc;wr1 = 2*pi*fr;
[N1,wn1] = buttord(wp1,wr1,1,25,'s')
[h1,w] =freqz(num1,den1);
wp2 = 2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs))
wr2 =2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs))
[N2,wn2] = buttord(wp2,wr2,1,25,'s')
[B2,A2] = butter(N2,wn2,'s');
[num2,den2] =bilinear(B2,A2,fs);%双线性变换法
[h2,w]= freqz(num2,den2);
f =w/(2*pi)*fs;

plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');

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axis([0,500,-100,10]);grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')
title('巴特沃思数字低通滤波器');
legend('脉冲相应不变法','双线性变换法',1);

结果分析：
脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数:

双线性变换法设计的低通滤波器系统函数:
num2 0.0179 0.1072 0.2681 0.3575 0.2681
0.1072 0.0179
den2 1 -0.6019 0.9130 -0.29 0.1501 -0.0208 0.0025

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个传输零点。

脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，ω＝ΩΤ，ω与Ω是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模 一般使用脉仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，
冲响应不变法。

脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通,而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤 7/ 15

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掉高于 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。

双线性变换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，s平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，Ω=∞处对应于Z平面的ω=π处,即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。

双线性变换缺点:Ω与ω成非线性关系，导致：
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。

b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非
线性相位。

能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。

(3)利用双线性变换法分别设计满足下列指标的Butterworth型、Chebyshev型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果：fc=1.2kHz，δ≤0.5dB,fr=2kHz ，At≥40dB,fs=8kHz，比较这种滤波器的阶数。

MATLAB 源程序：
clearall;
wc=2*pi*1200;wr=2*pi*2000;rp=0.5;rs=40;fs=8000;
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w1=2*fs*tan(wc/(2*fs));
w2=2*fs*tan(wr/(2*fs));
[Nb,wn]=buttord(w1,w2,rp,rs,'s') %巴特沃思
[B,A]=butter(Nb,wn,'s');
[num1,den1]=bilinear(B,A,fs);
[h1,w]=freqz(num1,den1);
[Nc,wn]=cheb1ord(w1,w2,rp,rs,'s')%切比雪夫
[B,A]=cheby1(Nc,rp,wn,'s');
[num2,den2]=bilinear(B,A,fs);
[h2,w]=freqz(num2,den2);
[Ne,wn]=ellipord(w1,w2,rp,rs,'s') %椭圆型
[h3,w]=freqz(num3,den3);
f=w/(2*pi)*fs;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-',f,20*log10(abs(h2)),'--
',f,20*log10(abs(h3)),':');
axis([0,4000,-100,10]);grid;
xlabel('Frequency in Hz');ylabel('Gain in dB');
title('三种数字低通滤波器');
legend('巴特沃思数字低通滤波器','切比雪夫数字低通滤波器','椭

圆数字低通滤波器',3);

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巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数：

切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数：

椭圆数字低通滤波器的系统函数系数：

num3= 0.03887 0.0363 0.0665 0.0363 0.03

den3= 1 -2.14440.3332

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分析：设计结果表明，巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低通滤波器、椭圆数字低通滤波器的阶数分别是9、5、4阶。可见，对于给定的阶数，椭圆数字低通滤波器的阶数最少(换言之，对于给定的阶数，过渡带最窄)，就这一点来说，他是最优滤波器。由图表明，巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽，幅频响应单调下降；椭圆数字低通滤波器过渡带最窄，并具有等波纹的通带和阻带响应
；切比雪夫数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。

(4）分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth型数
字带通滤波器，已知，其等效的模拟滤波器指标 δ<3dB，2kHz<f≤
3kHz；At≥5dB ，f≥6kHz；At≥20dB ，f≤1.5kHz。
ws1= 2*pi*1500;ws2=2*pi*6000;
[N1,wn1] = buttord([wp1 wp2],[ws1 ws2],3, 20,'s');%求巴特
沃思滤波器的阶数
[B1,A1]= butter(N1,wn1,'s');%给定阶数和边界频率设计滤波器
[num1,den1]= impinvar(B1,A1,30000);%脉冲相应不变法
[h1,w]= freqz(num1,den1);
w1=2*30000*tan(2*pi*2000/(2*30000));

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wr2=2*30000*tan(2*pi*6000/(2*30000));
[N,wn]=buttord([w1w2],[wr1 wr2],3,20,'s');%求巴特沃思滤波
器的阶数
[B,A]=butter(N,wn,'s');
[num,den]=bilinear(B,A,30000);%双线性变化法
[h2,w]=freqz(num,den);
f=w/(2*pi)*30000;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-');
axis([0,15000,-60,10]);
xlabel('Frequency in Hz');ylabel('Gain in dB');
grid;

脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、分母多项式系数：
num1= -1.5158 0.0057 -0.0122 0.0025 0.00 -0.0049den1= 1 -4.8056 10.2376 -12.2625 8.7012 -3.4719
0.6145
双线性变换法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、分母

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MATLAB源程序：

w1=2*10000*tan(2*pi*1000/(2*10000));
w2=2*10000*tan(2*pi*2000/(2*10000));
wr1=2*10000*tan(2*pi*500/(2*10000));
wr2=2*10000*tan(2*pi*3000/(2*10000));
[N,wn]=cheb1ord([wr1wr2],[w1w2],3,18,'s');%计算阶数[B,A]=cheby1(N,3,wn,'stop','s');%给定阶数和参数设计滤波器 13/ 15

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[num,den]=bilinear(B,A,10000);%双线性变化法[h,w]=freqz(num,den);%频率响应
f=w/(2*pi)*10000;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([0,5000,-120,10]);
grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')
title('切比雪夫数字带阻滤波器');
程序结果图：

四、实验思考题
1．双线性变换法中Ω和ω之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中 可以观察到这种非线性关系？

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答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位了，在每一幅使用了双线性变换的图中，可以看到在采样频率一半处，幅度为零，这显然不是线性变换能够产生的，这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映射到了改点处。

2.能否利用公式 完成脉冲响应不变法的数字滤波

器设计？为什么？

答：IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ab k k，它是数

去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器 ；如学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）

五、实验总结
数字滤波器的设计是信号处理方面的重要内容，通过运用
MATLAB软件来设计IIR数字滤波器，使我熟悉了MATLAB的强大功
能，同时也对数字滤波器的特点、作用有更深入的理解。了解了熟
练的利用MATLAB这一功能强大的软件来设计数字滤波器对数字信号
处理这一领域有着重要的意义与价。

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