数学归纳法
一.知识梳理
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，
则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等
二、典型例题讲解
【例1】证明：
(1)>1
(2)>
分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过程.
证明:(1)ⅰ:当n=1时,左=>1,故n=1时不等式成立.
ⅱ:假设当n=k时不等式成立，即>1
那么当n=k+1时,
左=
=
=>1
故n=k+1时不等式成立
根据（1）（2）可知：结论对于一切正整数n成立.
(2)第一步:当n=1时,左=2, 右=, 故左>右, 即n=1时不等式成立.
第二步:假设n=k时不等式成立,即>
那么n=k+1时,
左=
>
=
=
=>0
左>>
n=k+1时不等式成立．
第三步：根据（1）（2）可知：对于一切正整数n不等式成立。
【例2】 证nÎN*时有>
证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有
³1－（）…………（1）
用数学归纳法证明（1）式：
① n＝1时，（1）式显然成立，
⑵设n＝k时，（1）式成立，
即³1－（）
则当n＝k＋1时，
³〔1－（）〕·（）
＝1－（）－＋（）
³1－（＋）即当n＝k＋1时，（1）式也成立。
故对一切nÎN*，（1）式都成立。
利用（1）得，³1－（）＝1－
＝1－>
故原式成立，从而结论成立。
【例3】设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．（Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an｝的通项公式．
解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
【例4】(09山东) 等比数列的前n项和为，已知对任意的，点均在函数的图象上。
（Ⅰ）求r的值。
（Ⅱ）当b=2时，记
求证：对任意的不等式成立
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以