19.2.2 菱形(2)
第四课时
教学目标
知识与技能：
探究菱形的判定方法，掌握菱形的判定定理．了解菱形在实际问题中的应用．
过程与方法：
经历思索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法．
情感态度与价值观：
培养良好的思维意识以及合情推理能力，感悟其应用价值．
重难点、关键
重点：理解和掌握菱形的判定定理．
难点：发展学生合情推理能力．
关键：应用观察、运动的观点探究本节课的主要内容，把握菱形是平行四边形的特殊事例的这一前提来寻求菱形固有的特性．
教学准备
教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课有关的内容并制成投影片；
教具准备：长短两根细木条，钉子，橡皮筋．
学生准备：复习菱形性质，预习菱形判定定理．
学法解析
1．认知起点：已经学习了平行四边形、矩形、菱形等有关知识的基础上，积累了一定的推理经验．
2．知识线索：
3．学习方式：以操作引入，迁移的方式展开学习，采用合作交流的学习方式来解决重点突破难点．
教学过程
一、回顾交流，操作导入
教师提问：
1．菱形的定义是什么？
（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
2．菱形具有哪些性质呢？
性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等；
（2）角的性质：对角相等；
（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．
学生活动：采用相互提示、回顾并回答的方法，结合图形直观理解．
【课堂演练】（投影显示）
填空
1．菱形的周长为12cm，一个内角等于150°，则它的面积是_____．
（答案：4.5cm2）
2．矩形的一条边长为4cm，面积为20cm2，则这个矩形的一条对角线长为______．
（答案：cm）
3．菱形中较大角是较小角的3倍，高为5cm，则这个菱形边长为______．
（答案：5cm）
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，组织学生演练，然后提问个别学生．
学生活动：思考，完成填空题，通过训练，达到回忆的目的．
【设计意图】用合作交流的方式复习概念，再通过课堂训练，以练促思．
二、教具演示，观察发现
【问题牵引】
教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．
操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：平行四边形）．教师继续操作教具，转动木条，问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？
回答：学生观察后回答：因为将木条转成互相垂直后，这个平行四边形两条对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线性质定理，可以得到这个平行四边形一组邻边相等，根据菱形定义，它是菱形．
【形成定理】（教师板书）
菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【归纳方法】（学生归纳）
菱形的判定方法：
（1）边的关系：是平行四边形，并且有一组邻边相等．
（2）对角线的关系：是平行四边形，并且对角线互相垂直．
三、范例点击，应用所学
例2 如图，ABCD的对角线AC、BD交于O，AB=5，AO=4，BO=3，求证ABCD是菱形．（投影显示）
思路点拨：由于平行四边形对角线互相平分，构成了△ABO是一个三角形，而AB=5，AO=4，BO=3，由勾股定理可知∠AOB=90°，这样可利用菱形判定定理证得．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，分析例2．
讲明分析思路，是利用勾股定理求证∠AOB=90°（板书）
教师活动：补充课堂演练题．组织学生应用知识．
演练题1：如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，E是AD上的点，∠BCE=75°，求证：BE=BC.
思路点拨：已知四边形ABCD是矩形，∠BCE=75°，所以∠DEC=75°，∠ECD=15°，以CD为边，在矩形外作∠DCF=60°，这样得到∠F=30°，得到CF=2CD=2AB=BC，∠FCE=∠FEC=75°，只要证四边形BCFE是菱形即可；本题还可以证△BCE≌△FCE来解决．
学生活动：分析、思考，完成演练题1，然后上台演示、交流．
证明：以CD为边在矩形ABCD的外面作∠DCF=60°交AD的延长线于F，
则∠F=30°，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC=∠BCE=75°，
∴CF=2CD=2AB=BC．∠DCE=∠DCB-∠ECB=90°-75°=15°，
∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=15°+60°=75°．
∴∠ECF=∠FEC=75°，∴EF=CF，∴EF=BC．
又BC=CF．
∴四边形EBCF是菱形．
【设计意图】以例2分析帮助学生理解判定定理的应用，然后教师放手让学生演练，培养学生思考能力．
四、随堂练习，巩固深化
1．课本P110 “练习”1，2，3
2．【探研时空】
Rt△ABC，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，自A作BC的垂线交BD于E，自D作DF⊥BC，求证：AEFD为菱形．
（提示：欲证AEFD是菱形，首先证明AEFD是平行四边形，再证它有一组邻边相等）．
五、课堂总结，发展潜能
1．当平行四边形的一组邻边相等时，这个平行四边形是菱形，菱形也是平行四边形特例，它是轴对称图形，它的对称轴是它的对角线所在的直线，因此它有两条对称轴．
2．菱形也具有平行四边形的所有性质，而且由“一组邻边相等”可导出菱形的特殊性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
3．判定一个四边形是菱形的方法有：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
六、布置作业，专题突破
1．课本P114 习题19．2 6，7，10，14
2．选用课时作业优化设计
七、课后反思
第四课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
2．如图所示，菱形ABCD，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．
【提升“学力”】
3．如图所示，ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证四边形AFCE是菱形．
4．求证：连接矩形四边中点的四边形是菱形（要求画出图形，写出已知、求证，证明）
【聚焦“中考”】
5．（2003年吉林省中考题）如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B=60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）．
A．12m B．20m C．22m D．24m
6．（2003年广东省广州市中考题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
7．（2004年山西省中考题）如图，过ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形．
8．（2004年贵州省贵阳市中考题）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，求图中阴影部分面积．
答案:
1．提示：先证BNDM，再证△BFN≌△DCN，得BN=DN 2．∠CEF=18°
3．提示：FG AE，∴AECF，AF∥CE，同理：DE∥BF，∠FGE=90°
4．提示：连接矩形对角线
5．B 6．B
7．提示：证△OBG≌△ODE，推出OE=OG，
同理OF=OH，得平行四边形EFGH，
由EG⊥FH得菱形EFGH 8．2.5