向量的坐标表示及其运算-沪教版教案

资源信息表

8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）

一、教学内容分析

向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础.

二、教学目标设计

1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；

2．会用平行的充要条件解决点共线问题；

3、定比分点坐标公式.

三、教学重点及难点

课本例5的演绎证明；

分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；

特殊——一般——特殊的探究问题意识.

五、教学过程设计  ：

复习向量平行的概念：

提问：（1）升么是平行向量？方向相同或相反的向量叫做平行向量。

（2）实数与向量相乘有何几何意义?

（3）由此对任意两个向量，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行？对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行

（4）思考：如果向量用坐标表示为能否用向量的坐标来刻画这个数量关系？

思考：如果向量用坐标表示为，则是的（  ）条件.

A、充要                  B、必要不充分        

   C、充分不必要            D、既不充分也不必要

由此，通过改进引出

课本例5  若是两个非零向量，且，

则的充要条件是.

分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.

证明：分两步证明，

（Ⅰ）先证必要性：

非零向量存在非零实数，使得，即

，化简整理可得：，消去即得

（Ⅱ）再证充分性：

（1）若,则、、、全不为零，显然有，即

（2）若，则、、、中至少有两个为零.

①如果，则由是非零向量得出一定有，，

又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即

②如果，则有，同理可证

综上，当时，总有

所以，命题得证.

[说明]  本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.

练习2：

1．已知向量，，且，则x为_________；

2．设=(x₁，y₁)，=(x₂，y₂)，则下列与共线的充要条件的有（    ）

① 存在一个实数λ，使=λ或=λ；  ②；③(+)//(－)

A、0个    B、1个      C、2个     D、3个

3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为                   ；

[说明]  安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.

知识拓展应用

问题一：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____            

（学生讨论与分析）

[说明]  三点共线的证明方法总结：

法一：利用向量的模的等量关系

法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.

*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.

问题二：定比分点公式：

设点P（，，点P是直线 上任意一点，且满足  ，求点P的坐标.

解：由 ，可知，因为≠-1，

所以 ，这就是点P的坐标.

[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段的定比分点公式.

2．小组交流

（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系？当=1时，点P的坐标是什么？

（2）满足式子的点P称为向量 的分点.

思考：上式中正确反映 P，， 三点位置关系的是（        ）

1. 始→分，分→终.B、始→分，终→分.C、终→分，分→始

（3）关于定比和分点P 叙述正确的序号是         

1）点在线段中点时，=1;2）点