第一节 分式
第三章 分式
●课时安排
8课时
第一课时
●课 题
§3.1.1 分式（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.
（二）能力训练要求
1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感.
2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.
（三）情感与价值观要求
通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
●教学重点
1.了解分式的形式（A、B是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值于使分母的值不得为零.
2.掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式.
●教学难点
1.分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值于使分母的值不能为零.
2.分子分母进行约分.
●教学方法
讲练相结合
●教具准备
投影片：
第一张：固沙造林，绿化家园，（记作§3.1.1 A）；
第二张：做一做，（记作§3.1.1 B）；
第三张：议一议，（记作§3.1.1 C）；
第四张：例1，（记作§3.1.1 D）；
第五张：练一练，（记作§3.1.1 E）.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们先试着解答下面的问题：
出示投影片（§3.1.1 A）
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
这一问题中有哪些等量关系？
如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意，可得方程____________.
［生］根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）
［生］这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）
［师］这两位同学真棒！在这个问题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什么？
［生］涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
［师］如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？
［生］因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
［师］这种设未知数的方法恰好与投影片（§3.1.1 A）中设未知数的方法相同.下面同学们自己在练习本上回答投影片（§3.1.1 A）中的几个问题.
（教师可巡视同学们回答问题情况）.
［生］原计划完成一期工程需个月，
实际完成一期工程需c个月，
根据等量关系（1）可列出方程：
+4=.
［师］同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？
［生］因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.
［师］同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？
［生］我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.
［师］的确如此.像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.
从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程.
Ⅱ．讲授新课
1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.
［师］下面我们再来看几个问题：出示投影片§3.1.1 B
做一做
（1）正n边形的每个内角为__________度.
（2）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m kg，箱子的质量为n kg，则每千克苹果的售价是多少元？
（3）有两块棉田，有一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？
［生］（1）;（2）元；
（3）千克；（4）册
［师］很好！我们再来看投影片（§3.1.1 C）
议一议
上面问题中出现了代数式，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
（分组讨论后回答）
［生］上面的几个代数式的共同特征：
（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母.
［生］它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母.例如：它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式.
［师］同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的概念：
整式A除以整式B，可以表示成的形式.如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.
分式中，字母可以取任意实数吗？
［生］不可以.因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零.字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义.
2.例题讲解
［师］下面我们接着来看投影片（§3.1.1 D）
想一想
（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
5x－7,3x2－1,,,－5,,,.
（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.
②当a为何值时，分式有意义？
③当a为何值时，分式的值为零？
［生］（1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,
是分式.
（2）解：①当a=1时，==1;
当a=2时，==.
②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a=0，得a=0.
所以，当a取零以外的任何实数时，分式有意义.
③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零.因此a的取值有两个要求：
所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式为零.
Ⅲ.随堂练习
巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件.
出示投影片（§3.1.1 E）
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；（2）;（3）
分析：当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
解：（1）由分母x－1=0，得x=1.
所以，当x取除1以外的任何实数时，分式都有意义.
（2）由分母x2－9=0，得x=±3.
所以，当x取除3和－3以外的任何实数时，分式都有意义.
（3）由分母x2+1可知，x取任何实数时，x2是一个非负数，所以x2+1不管x取何实数时，x2+1都不会为零.即x取任何实数，都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起，可以调制成一种混合饮料，调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料？
解：根据题意，调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.
Ⅳ.课时小结
［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）
［生］今天，我们认识了代数式里一个新的成员——分式.
［生］我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零.
［生］……
Ⅴ.课后作业
习题3.1.第1、2、3题.
Ⅵ.活动与探究
已知x=,求的值
［过程］直接代入求值，显然很麻烦，由已知 x=，得2x=+1,2x－1=.
所以（2x－1）2=5,x2－x－1=0即x2=x+1.
我们利用x2=x+1可以使降次从而求出它的值.
［结果］=====
==.
●板书设计
§3．1．1 分式（一）
一、分式的意义
整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式.
注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.
2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零.
二、例题
三、随堂练习