第17章函数及其图象知识点解析与例析教案

《函数及其图象》知识点解析与例析

1. 掌握据点得坐标，据坐标描点。----过点作直线垂直于横轴，垂足点所对应的数为横坐标，垂直于纵轴的垂足点所对应的数为纵坐标。

　　　　　　　　　　　　　　　　求A、B的坐标

2. ___________的点在纵轴上，__________的点在横轴上。横纵坐标都是正数的点在第___象限，_________________________的点在第二象限，______________________________的点在第三象限，______________________________的点在第四象限。

例：1）点（0，－2）在___轴上，点（x,y）在x轴负半轴上到0的距离为3，则x=__,y=___.

2）点（a-1,b+2）在第四象限，则a、b的取值范围是_____________。

3. 直角坐标平面内对称点的坐标的规律：关于x轴对称，_______不变______互为相反数，关于y轴对称，________不变_______互为相反数；关于原点对称，________________

例：1)点（－2,3）与（2，－3）关于＿＿对称；（4，－5）关于x轴对称的点为＿＿＿＿

2)已知点M（4p, 4q+p）和点N(5-3q, 2p-2)关于y轴对称，求p和q的值。

4. 函数关系式中自变量的取值必须保证表示函数的代数式有意义。

1. 整式：取全体实数。例如中x取全体实数；
2. 分式：不取令分母为0的值，例如中x≠2;
3. 二次根式：取令“被开方数≥0”的值，例如须x-2≥0即x≥2；
4. 二次根式与分式的综合式：保证二次根式成立的同时分母不能为0。

例如中x＞2, 中x≤2且x≠1

吃透上面例题，并完成过关课本第86页第3题。

*另须注意的是：实际问题中的自变量要依据实际来确定：

例：1、一辆拖拉机携带汽油40升，行驶中每小时消耗4升，求余油量Q与行驶时间t的函数关系式为______________，自变量t的取值为____________。

2、周长为16cm的等腰三角形，写出底边y与腰长的函数关系_______，自变量x的取值范围是_________________

5. 画函数图像：一列表(取适当个数的自变量       例：画y=2x-1(0＜x≤2＝的图像

x的值，分别计算对应y的值，以自变量x的

值为横坐标，对应的y的值为纵坐标得到一系

列的点)，二描点，三连线(预计线条走向及趋

势，连点成线得到函数图像)。注意：当自变量

有时，在自变量取值范围之外没有图像。

6. 点（m，n）在函数图像上说明当自变量为m时，函数值为n.

例：1）点（2,8）_____函数y=3x-2上；　2）直线y=kx＋3与x轴交于（-3,0）则k＝＿

2）已知一次函数图像y=kx+k的图像

与反比例函数的图像在第一像

限交于（4，n），请先确定该一次函数

解析式再建立直角坐标系画出其图像。

7. 依据图像确定自变量或函数的取值范围：把图像垂直投影到x轴上，投影的区域为自变量x的取值范围，把图像垂直投影到y轴上，投影的区域为函数y的取值范围。

例：依据所给图像确定自变量和函数的取值范围。

　　　 Y

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　抛物线

　　　0 　2          x　　　　　　　　　　　　　　　-1　0　　3　　　x

　　　　1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-2

当x取＿＿＿＿时y＞0，　　　　　　　　　　　　当x取＿＿＿＿＿时y<0

当0＜x＜2时y取值为＿＿＿                    当x取＿＿＿＿＿＿时y＞0

8. 图像从左往右，自变量x是增大的，图像上升说明y在增大，图像下降说明y在减小。

例：1)上面左图中y随x的增大而＿＿＿，右图中y随x增大而变化的关系是＿＿＿＿＿＿

2)直线y=-2x+1上两点（x1,y1）在(x2,y2)左边，比较y1、y2的大小＿＿＿＿＿＿＿＿＿

9. 函数图像的最高点，此处函数y取得最大值；最低点处函数y取得最小值。

例：上面右图中可以看出函数

有最＿＿值，请先求这个抛物

线解析式，再求出这个最值

10、我们知道，在横(x)轴上的点纵坐标为0，在纵(y)轴上的点横坐标为0，函数式用图形表示时x值作为横坐标、对应y的值作为纵坐标，因此，求一个函数图像与x轴的交点时，已知交点纵坐标为0即有y=0而得对应x的值(此为交点横坐标)；与y轴的交点，已知交点横坐标为0即有x=0得y的值(此为交点纵坐标)。

例：y=2x-1与x轴的交点为___________，与y轴的交点为___________；

<示范> y=0得x=0.5，故与x轴的交点为(0.5，0)； x=0得y=-1，故与y轴交点为(0，-1)。

练：与y轴的交点为________，与x轴的交点为____________________。

11、求两个函数图象的交点坐标时，联立它们的解析式构成方程组，解方程组所得的x的值是交点横坐标，对应y的值是该交点纵坐标。

例：求两直线y=2x-1与y=x+2的交点坐标。

12、<量1> 与 <量2> 成正比例 <量1> = K <量2> (K为非0常数)

例：1）求证：y与z成正比例，z与x成正比例，求证：y与x成正比例。

    证明：依已知可设y=k1z,  z=k2x,故y=k1k2x,从而得y与x成正比例。

＊＊当一个问题中要设两个以上待定系数K时，不能都设为K，必须予以区分，如上例，也右以设成其它两个不同的字母如a、b等

2）下面两个变量是成正比例变化的是(     )

A、正方形的面积和它的边长;　B、圆的面积与它的半径； C、圆的周长与它的半径

例：已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并自行建立直角坐标系画出该函数图像；（2）当a为多少时点（a ，2）在这个函数的图象上 .

13、形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数称一次函数，其图像为一条直线。一次项系数k在此的影响是：当k＞0时图像_______，y随x的增大而_______；k＜0时图像_______，y随x的增大而_______。常数项b是图象与y轴交点的纵坐标(为了便于记忆不科学地称之为直线在y轴上所过的那点的数)。

例：1）直线y=-x+1与y轴交点的纵坐标为＿＿，y随X的增大而＿＿，它过＿＿＿＿象限。

2）　　　　　　　　　

如图为y=kx+b的函数图像，则k____,b_____.y随x的增大而＿＿

3）函数y=3x + 的图像与坐标轴构成的三角形的面积为＿＿＿＿平方单位。

★一次函数中自变量的系数k的大小决定了其图像直线的倾斜角度，当两直线的自变量系数k相等时，这两条直线互相平行。

例：直线y=-2x+1向下平移3个单位，所得直线解析式为＿＿＿＿＿＿＿

例：请在练习本上建立一个坐标系作出直线y=-x,y=-2x,y=-3x,y=x,y=2x,y=3x的图像，观察图像，归纳出系数k对直线倾斜度的影响规律＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

14、正比例函数是常项为_____的一次函数。结构式为y=kx(k是不为0的实数)，它的图像是必过原点的直线，是关于原点成中心对称的。

15、用待定系数法求一次函数解析式时，先设出结构式，再把两个“点”代入其中得以关于k、b的二元一次方程组解出即可。

例：1）求第7点例题左图直线解析式。

2）一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点N的纵坐标为1，求这个一次函数的解析式

• 以下是几个可以写成一次函数的开放性中考题：

例1：某函数的图像过点（1,2），且y随x增大而增大，则这个函数解析可以是__________

例2：已知一个一次函数图像过（－1,2），则其解析式可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

例3：写一个图像过原点且y随x增大而减小函数解析式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

面积为y,与墙垂直的一边长为x）

18、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫反比例函数。其图像是＿＿＿＿＿，当反比例系数k＞0时，图像分布在＿＿＿＿象限（x>0对应第＿＿象限图像，x<0对应第＿＿象限图像），不论在哪一象限图像走向都是＿＿＿即y随x的增大而＿＿＿；当k<0时，图像分布在＿＿＿＿象限（x>0对应第＿＿象限图像，x<0对应第＿＿象限图像），不论在哪一象限图像走向都是＿＿＿即y随x的增大而＿＿＿；

19、反比例函数图像上任取一点，其横纵坐标的乘积为反比例系数k；任取一点向两坐标轴作垂线得到的矩形面积是一个定值，为｜k|.