不等式的证明方法
长安四中 高竹
不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据，但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多。我总结了一些不等式的证明方法 ，下面举例说明。
例1 求证：>.
证明：因为
所以 >.
证明例1的方法称为作差比较法。用差与“0”比较大小。
例2 已知>b>c>0,求证：。
证明：因为
且>b>0, 所以-b>0, ，故。
同理可证 ，。
所以 ，从而。
证明例2的方法称为求商比较法。用商与“1”比较大小。
二．反证法
例3 求证：是无理数。
证明：假设不是无理数，则为有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设=，p≠0,且p,q互素，则p=q. 所以， ①
故是偶数，q也必是偶数。
不妨设q=2k,代入①式，则有，即，所以，p也是偶数.
P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p,q互素相矛盾。
这样，不是有理数，而是无理数。
证明例3的方法称为反证法。当命题过于简单，或正面情况非常复杂时，一般用反证法。
例4 求证：。
证明：因为
<1++
=1+
=2-
证明例4的方法称为放缩法。利用学过的不等式的性质适当的放大或缩小。
例5 已知：x，y都是实数，求证：
证明：要证原不等式成立只需证
设
因为的系数大于0，且
=-3
故f(x)≥0 所以原不等式成立
证明例5的方法称为判别式法。利用判别式证明不等式的取值范围。
例6 已知：求证：
证明：要证原不等式成立，只需证
即证：
如图，建立平面直角坐标系，设
则改证：
显然，当P,A,B三点共线时，等号成立；不共线时，不等号成立。
故，原不等式成立。
证明例6的方法称为数形结合法。此方法最大的优势在于直观，可难点却在于如何才能画出不等式对应的图形！
六.构造函数法
例7 已知,b,c为△ABC的三边，求证：
证明：
考察函数f(x)=的单调性 。
因为f(x)=在(0,+∞)是单点递增的，
又因为+b>c 所以，
即：成立
证明例7的方法称为构造函数法。要用此方法证不等式，对于掌握函数单调性的要求比较高！
以上就是我总结的不等式的证明方法。当然还有向量法，综合法，分析法，在文中没有专门举例，那是因为对于综合和分析这两种方法，几乎在每一道题中都有应用，大多数不等式的证明不是由因导果就是执果索因 ；而向量法本身就可理解为数形结合的一种模式，故这三种方法没有具体举例。在实际的做题当中，一定要根据题的特点选择合适的方法！