反比例函数的图象和性质（二）教案

17.1.2反比例函数的图象和性质（二）

教学目标：

1. 进一步提高从函数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。
2. 进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用。
3. 在参与数学活动的过程中，体会探索创新的乐趣，养成乐于探索的习惯。

教学难点：用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题。

教学难点：数形结合思想在解题中的应用。

教学过程：

一、创设问题情景，引入新课

活动1

1. 作反比例函数图象的基本步骤是⑴　　　　　　　　；⑵　　　　　　　；⑶　　　　　　　。
2. 反比例函数的图象是由         组成的，通常称为         ，当k<0时    位于       ；当k>0时,          位于            。
3. 反比例函数的图象，当k>0时,在每一个象限内，y的值x随的增大而       ；当k<0时，在每一个象限内，y的值随x的增大而                。
4. 反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是                 。
5. 知识结构

①当k>0时，                 。

（2）性质

                                          ②当k<0时，                 。

师生行为：由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结。此活动中，教师应重点关注：

①学生能否顺利地完成填空；

②学生是否能由反比例函数的图象和性质结合起来理解。

二、讲授新课

活动2

问题：【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。

1. 这个函数的图象分布在哪些象限？随的增大如何变化？
2. 点B（3,4）、C（）和D（2，5）和是否在这个函数图象上？

师生行为：学生思考，自己解答。教师巡视解答过程并给予指导。在此活动中教师应重点关注：

①是否理解反比例函数解析式的确定就是值的确定。

②点是否在图象上，只需将点的横纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。

解：（1）设这个反比例函数为，因为它经过点A，把点A的坐标（2，6）代入函数式，得

解得k=12

这个反比例函数的表达式为。

因为k>0，所以这个函数的图象在第一、第三象限内，y随x的增大而减小。

（2）把点B、C和D的坐标代入，可知点B点、C的坐标满足函数关系式。点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数的图象上，点D不在函数的图象上。

活动3

问题：【例4】如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：

1. 图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
2. 如上图的图象上任取点A（a,b）和点B（a＇,b＇），如果a> a＇，那么b和b＇有怎样的大小关系？

师生行为：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题。教师应给学生充分的交流时间和空间。在此活动中教师应重点关注：

①学生能否从图象的特点得到（m-5）的符号；

②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；

③学生能否思考问题。

解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。

因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m－5>0，解得m>5。

（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小。所以当a> a＇时，b< b＇。

三、巩固提高

活动4

练习：

1. 已知反比例函数的图象经过点A（3，－4）。

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？

2、如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？

（2）在图象上任取一点A（a，b）和B（a＇,b＇），如果a< a＇，那么b和b＇有怎样的大小关系？

师生行为：由学生思考完成，教师进一步根据学生情况进行评析。在此活动中教师应重点关注：

①学生是否具有数形结合的意识。

②学生能否有思考的习惯。

解：1、（1）设这个反比例函数为，因为它经过点A（3,－4），把点的坐标代入函数式，得，解得k=－12。

这个函数的表达式为。

因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。

（2）把点B、C、D的坐标代入，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。

2、（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限，这个函数的一支在第二象限，则另一支必在第四象限。

因此这个函数的图象分布在第二、四象限，所以n+7<0，n<－7。

（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而增大，所以当a< a＇时，b<b＇。

活动5

（1）求该反比例函数的解析式。

（2）若点（－a，y₁），（－2a，y₂）在该反比例函数的图象上，试比较y₁与y₂的大小。

师生行为：

先由学生思考寻找解题的途径。教师应给予适当指导，特别是对于“学困生”。在此活动中教师应重点关注：

综合运用数学知识的能力；

学生面对困难，有无面对困难的勇气和克服困难的坚强意志；

学生能否借助新旧知识的联系，转化迁移旧知识。

师生共析：通过Rt△AOC的面积，可知x_A·y_A=4。又因为点A在双曲线上，所以x_A·y_A=k，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k>0，y随x的增大而减小知，自变量x越大，函数值反而小，通过比较－a与－2a的大小可知y₁与y₂的大小。

（1）解：因为点A在反比例函数的图象上，设A点的坐标为（，）。

∵a>0，k>0,∴AC=,OC=,

又∵S_△AOC=

∴，k=4，

即反比例函数的解析式为。

（2）∵A点，B点横坐标分别为a，2a（a>0）

∴2a>a，即－2a<－a<0

由于点（－a，y₁），（－2a，y₂），在双曲线上，根据反比例函数的性质k>0，y随x增大而减小知y₁<y₂。

四、课时小结

活动6

谈谈本节课你有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式。

师生行为：让学生小组讨论，交流本节课的收获。教师根据学生情况汇总。在活动中教师应重点关注：

①不同层次学生对本章节知识的认识程度；

②学生面对困难、克服困难的能力。