19．2.1 矩形(1)
第一课时
教学目标
知识与技能：
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
过程与方法：
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
情感态度与价值观：
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
重难点、关键
重点：掌握矩形的性质，并学会应用．
难点：理解矩形的特殊性．
关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．
教学准备
教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．（图19．2-2）
学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．
学法解析
1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．
2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．
3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．
教学过程
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．
教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，是属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才变角∠α为90°可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．
学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等，口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC
又∵BC为公共边
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．
二、范例点击，应用所学
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．
【活动方略】
教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）
学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．
【问题探究】（投影显示）
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=AC．
思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．
证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）
∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，
∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．
证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，
∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．
∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，
又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，
∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．
【设计意图】
补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．
三、随堂练习，巩固深化
1．课本P104 “练习”1，2，3．
2．【探研时空】
已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．
思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．
另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．
四、课堂总结，发展潜能
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．
五、布置作业，专题突破
1．课本P112 习题19．2 1，4，9，16
2．选用课时作业优化设计
六、课后反思
第一课时作业优化设计
【驻足“双基”】
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，对角线长是________，两边长分别等于________．
2．矩形周长为36cm，一边中点与对边两顶点的连线所夹的角是直角，则矩形各边长是______．
3．已知矩形ABCD中，O是AC、BD的交点，OC=BC，则∠CAB=_______．
4．如图，矩形ABCD中，E是BC中点，∠BAE=30°，AE=4，则AC=______．
5．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取上一点M，使AM=AB，则∠MBC=_______．
6．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分
7．如果E是矩形ABCD中AB的中点，那么△AED的面积：矩形ABCD的面积值为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知：如图，矩形ABCD中，EF⊥CE，EF=CE，DE=2，矩形的周长为16，求AE的长．
【提升“学力”】
9．如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，∠BDF=15°，求∠DOC、∠COF的度数．
【聚焦“中考”】
10．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：EB=5：2，求阴影部分EBFD的面积．
11．小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料，（裁剪两种布料时，均不计余料），若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料多少匹呢？
答案:
1．10，5，5 2．6cm，12cm，6cm，12cm 3．30° 4．2 5．15°
6．B 7．C 8．3
9．60°，75°
提示：∠ODC=∠ODE+∠EDC=15°+45°=60°，
∴△ODC是等边三角形，∴∠DOC=60°，
∵OC=CD，CD=CF，∴OC=CF，
又∵∠OCF=90°-60°=30°，
∴∠COF==75°．
10．24cm2 11．30匹