命题的形式及等价关系-沪教版必修1教案

1.4 命题的形式及等价关系

基础热身：

 (1)命题“若，则”的逆否命题是（　　）

若≥，则≥或≤    若，则

若或，则若≥或≤，则≥

 (2)命题“若函数在定义域内是减函数,则”的逆否命题是（  ）

  A、若，则函数在其定义域内不是减函数

  B、若，则函数在其定义域内不是减函数

  C、若，则函数在其定义域内是减函数

   D、若，则函数在其定义域内是减函数

知识梳理：

1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。

说明:(1)命题通常用陈述句表述。

数学中的定义、公理、定理等, 都是数学命题。

在数学中，一般只研究数学命题。

(2)命题一般地由条件、结论两部分组成。

命题常写成“如果α，那么β”的形式。

对于这样的命题，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论。

注意:

α、β也都是命题，可能是简单命题，也可能是复合命题。

简单命题：不含逻辑联结词的命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

如：(1)3是12的约数.

    (2)3是12的约数且3是15的约数.

2．判断命题的真假：

正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

1. 确定一个命题是真命题必须作出证明；

①直接证明；②间接证明（同一法、反证法）

直接法：即从已知条件出发，依据所学过的公理，定理，公式进行逐步推理，从而得出结论。

反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立。

（2）确定一个命题是假命题，只要举反例即可。

例1：判断下列命题的真假，并说明理由。

(1)如果是有理数，那么它一定是自然数。

(2)如果是有理数，那么2＞．  

(3)若ÎR，x+1= x+3，那么关于x的方程有惟一解。

(4)如果一元二次方程x²+bx+c=0(¹0)满足c<0,那么这个方程有实数根。

（5）如果一元二次方程x²+bx+c=0(¹0)有实数根，那么满足c<0。

（6）一个有理数与一个无理数的和是无理数。

证明：设命题的反面成立，即这两数的和为有理数。

      设，则为有理数，

     与是无理数矛盾

所以，命题“一个有理数与一个无理数的和是无理数”是真命题。

 3.推出关系: 确定一个命题是真命题必须作出证明，

即证明若满足命题条件就一定能推出命题结论。

（1）如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，记作；αÞβ，读作“α推出β”。

即:αÞβ表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。

如果α成立不能推出β成立，记作:α?β。

即: α?β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。

如:α:两个角是对顶角    β:两个角相等；       

 αÞβ

α:两个角相等        β:两个角是对顶角。   

 α?β

（2）如果αÞβ并且βÞα，记作αÛβ，叫做α与β等价。

    如：

α:三角形是等腰三角形  β:两底角相等；     

 αÛβ

α:x²+y²=0(xÎR,yÎR)    β:x=y=0.          

  αÛβ

   (3) 如果αÞβ, βÞγ,那么αÞγ

即：推出关系具有传递性

如：α: x>9        β:x>5          γ:x>1

例2：个位数为5的自然数能被5整除。

证：    α1:自然数n的个位数为5

          ⇒ α2: n=10k+5，kÎN

          ⇒ α3: n=5(2k+1)，kÎN

⇒ α4: n能被5整除.

例3：用“⇒、?、Û”表示α、β之间关系

 (1) α：实数 x 满足 x²=9，   β：x =3 或 x =-3

(2) α：A∩B = U，       β：A = U 或 B = U  (U为全集)

(3) α：AÍB，               β：A∩B = A

(4) α：，             β：

(5) α：x>5                  β：x>8

(6) α：b=0                  β：直线y=kx+b过原点

1．命题的四种形式：原命题：若P，     则q．

逆命题：若       ,则      ．

否命题：若      ，则      ．

 逆否命题：若      ，则      ．

2.  四种命题间的关系：

1°  原命题与逆否命题总是具有           的真假性，

逆命题与否命题也总是具有           的真假性．

 互为逆否的两个命题             的真假性．

2°互逆命题或互否命题，它们的真假性              ．

3°原命题与它的逆否命题, 是等价. 叫做等价命题.

因此, 证原命题为真, 与证它的逆否命题为真等效.

于是, 为了证明原命题为真, 有时考虑证明           为真

例1：把命题“负数的平方是正数”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。

例2：写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题。

例3：（1）命题“在二次函数y=ax²+bx+c中，若b²—4ac≥0，则该二次函数的图象与x轴有公共点”的否命题为（在二次函数y=ax²+bx+c中，若b²—4ac<0，则该二次函数的图像与x轴没有公共点。）（指出“≥”的否定是“<”。）

（2）命题“对顶角相等”写成p则q的形式为（若两个角是对顶角，则这两个角相等。）它的否命题为（不是对顶角的两个角不相等。）

（3）“平行线相交”的否命题是“平行线不相交”吗？（不是。）

例4：（1）命题“三角形的内角和等于180°”写成若p 则q的形式为（若一个图形是三角形，则它的内角和等于180°。）它的逆否命题为（内角和不等于180°的图形不是三角形。）

（2）命题“正方形的四条边相等”的逆否命题为（四条边不相等的四边形不是正方形）。

例5：（1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是（可以被5整除的数末位是0）

（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的否命题是（与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

（3）命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是（圆的切线到圆心的距离等于圆的半径）

（4）命题“若xy≠0，则x≠0且y≠0”的逆命题为（x=0或y=0，则xy=0）

（5）把命题“弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对应的弧”写成“若p则q”的形式为（若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧）

例6：把命题“等式的两边都乘以同一个数，所得的结果仍是等式”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆否命题。

例7判断下列命题的真假，并给出证明。

(1)已知集合A、B、C，如果，那么。

(2) 如果集合A、B、C满足，那么。

例8试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.

命题A:如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; (真)

命题B:如果一个三角形两边相等,那么这两边所对的角也相等. (真)

例9写出下列判断的一个否定形式.

(1)都是正数.

(2) 中至少有2个是正数.

(3) 中至多有2个是正数.

(4)且.

归纳总结:

写否定形式时,“是”与“不是”是互相排斥的，用集合的观点看，就象是取补集,两者的“并”是全集，两者的“交”是空集。

    常见的否定形式: ①“是”与“不是”；②“都是”与“不都是”；③“一定是”与“一定不是”；④“且”与“或”； ⑤“正数”与“非正数”； ⑥“>”与“   ”； ⑦“至少一个”与“一个也没有”； ⑧“至多一个”与“至少两个”等等。

例10.已知一个命题的否命题是“a,b都是实数，如果，那么且.”写出原命题、逆命题及逆否命题，并判断真假.

例11写出命题“两直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么所得同位角相等.”的等价命题。

【1.4 命题的形式及等价关系参】

例1解：原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数。

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。

例2分析：（1）“a和b都是偶数”是条件，“a+b是偶数”是结论。

（2）“a和b都是偶数”的否定包含三种情况，“a是偶数，b不是偶数”或“a不是偶数，b是偶数”，若“a不是偶数，b也不是偶数”。所以综合起来它的否定即为“a和b不都是偶数”。

解：否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数。

    逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数。

例6：解；原命题为“在等式的两边分别乘以一个数，若这两个数是同一个数，则所得的结果是等式”或“在一个式子两边都乘以同一个数，若这个式子是等式，则所得的结果是等式”或“若一个式子是等式且两边都乘以同一个数，则所得的结果为等式”相应的逆否命题分别为“若等式两边乘以一个数所得的结果不是等式，则这两个数不相同”或“若在一个式子两边都乘以同一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式”或“若一个式子两边分别乘以一个数，所得的结果是不等式，则这个式子是不等式或两边乘的不是同一个数”。

例7解：(1)是真命题.

证:若设任意,则,且.

    由子集定义, .

   若则

综上,命题为真.

(2)是假命题.举反例:满足,但不满足