数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A．
B．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1 2．下列命题中，真命题是（ ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．如表是探索一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解的取值范围．
x x2+3x﹣5
﹣1 ﹣7
0 ﹣5
1 ﹣1
2 5
3 13
4 23
从表中可以看出方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解应界于整数a和b之间，则整数a，b分别是（ ） A．﹣1，0
B．0，1
C．1，2
D．2，3
4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（ ） A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A．k＜1且k≠0
B．k≠0
C．k＜1
D．k＞1
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．已知：AB＝2，BC＝3，则BM的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
二、填空题（每题3分，共15分）
9．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为 ．
10．某商品经过连续两次提价，销售单价由原来162元提到200元，设平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
11．如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE＝ ．
12．已知关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m ． 13．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是 ．
三.解答题
14．（16分）解下列方程： （1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0； （2）2y2+4y＝y+2；
（4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，请用尺规在AC上找一点P，使得BP＝AC．
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BD＝4，AC＝6，求菱形的周长．
17．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC． 求证：FN＝EC．
18．如图，在长14米、宽10米的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的小路，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为117平方米，
求小路的宽度．
19．AB＝AC，D为边BC上一点，BD为邻边作平行四边形ABDE，如图，在△ABC中，以AB、连接AD、EC．若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
21．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
22．阅读下面解方程的过程：
解方程（x2﹣）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±故原方程的解为x1＝
，x2＝﹣
；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±，x3＝
，x4＝﹣
．
．
由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 解答下列问题：
利用换元法解方程：（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0．
23．如图1，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，4），点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边OA，BC上运动，连接OQ，BP，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形OPBQ是平行四边形；
（2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形OPBQ是菱形的情况？若存在，求出此时直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的情况下，直线PQ上是否存在一点D，使得△PBD是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
参
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A．
B．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
C．（x﹣1）（x+2）＝1
【分析】一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；
B、当a＝0时，即ax2+bx+c＝0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；
C、由原方程，得x2+x﹣3＝0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确； D、方程3x2﹣2xy﹣5y2＝0中含有两个未知数；故D选项错误． 故选：C．
2．下列命题中，真命题是（ ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误； B．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项错误；
D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确； 故选：D．
3．如表是探索一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解的取值范围．
x x2+3x﹣5
﹣1 ﹣7
0 ﹣5
1 ﹣1
2 5
3 13
4 23
从表中可以看出方程x2+3x﹣5＝0的一个正数解应界于整数a和b之间，则整数a，b分别是（ ） A．﹣1，0
B．0，1
C．1，2
D．2，3
【分析】由表格可发现x2+3x﹣5的值﹣1和5最接近0，再看对应的x的值即可得到答案．解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，x2+3x﹣5＝0，即这个数是x2+3x﹣5＝0的一个根．
x2+3x﹣5＝0的一个解x的取值范围为1＜x＜2． 故选：C．
4．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必是（ ） A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．无法确定
【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD，再根据四边形的对角线相等可知AC＝BD，从而得到EF＝FG＝GH＝HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形即可得解． 解：如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD，
根据三角形的中位线定理，EF＝AC，GH＝AC，HE＝BD，FG＝BD， ∵四边形ABCD的对角线相等， ∴AC＝BD，
所以，EF＝FG＝GH＝HE， 所以，四边形EFGH是菱形． 故选：A．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A．k＜1且k≠0
B．k≠0
C．k＜1
D．k＞1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令Δ＞0且二次项系数不为0即可． 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，
即（﹣6）2﹣4×9k＞0， 解得，k＜1， ∵为一元二次方程， ∴k≠0， ∴k＜1且k≠0． 故选：A．
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．已知：AB＝2，BC＝3，则BM的长等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据翻折变换和矩形的性质，得出MC＝MA，在直角三角形ABM中由勾股定理列方程求解即可． 解：由翻折变换可知， ∠DAC＝∠EAC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠EAC， ∴MA＝MC，
设BM＝x，则MC＝3﹣x＝MA， 在Rt△ABM中，由勾股定理得， AB2+BM2＝MA2， 即22+x2＝（3﹣x）2， 解得x＝， 故选：D．
7．若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数图象与性质判断即可．
解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n， ∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣1， 则一次函数图象经过第一、三、四象限． 故选：B．
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝5，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（ ）
A．4.8 B． C． D．13
【分析】连接BD，由勾股定理求出AB，再证四边形DEBF是矩形，得EF＝CD，然后 由垂线段最短得BD⊥AC时，线段EF的值最小，最后由三角形面积求出BD的长即可．解：如图，连接BD，
∵∠B＝90°，AB＝12，BC＝5， ∴AC＝
＝
＝13，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴四边形DEBF是矩形， ∴EF＝BD，
由垂线段最短可得BD⊥AC时，线段BD最短，则EF最小， 此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BD， 即×12×5＝×13•BD， 解得：BD＝
，
．
∴EF的最小值为故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1化为一般形式为 x2﹣8x﹣4＝0 ．
【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可．
解：（1+3x）（x﹣3）＝2x2+1， 可化为：x﹣3+3x2﹣9x＝2x2+1，
化为一元二次方程的一般形式为x2﹣8x﹣4＝0．
10．某商品经过连续两次提价，销售单价由原来162元提到200元，设平均每次提价的百分率为x，根据题意可列方程为 162×（1+x）2＝200 ．
【分析】利用基本数量关系：商品原价×（1+平均每次提价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．
解：由题意可列方程是：162×（1+x）2＝200． 故答案为：162×（1+x）2＝200．
11．如图，E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE＝ 22.5° ．
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出∠CBE＝45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BCE＝67.5°，然后根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE计算即可得解． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝45°，∠BCD＝90°， ∵BE＝BC，
∴∠BCE＝（180°﹣∠BCE）＝×（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故答案为：22.5°．
12．已知关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m ＝﹣1 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，（3）是整式方程，据此即可求解． 解：根据题意得，|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：＝﹣1．
13．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最
小值是 2 ．
【分析】作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解．
解：作出D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，2）．则PD+PA的最小值就是AD′的长． 则OD′＝2， 因而AD′＝
则PD+PA和的最小值是2故答案是：2
．
＝．
＝2
．
三.解答题
14．（16分）解下列方程： （1）x2﹣4x＝3； （2）3x2﹣4x﹣1＝0； （2）2y2+4y＝y+2；
（4）（x+1）2+4（x+1）+4＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用公式法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）把x+1看作整体，利用完全平方公式变形，开方求出解即可． 解：（1）配方得：x2﹣4x+4＝7，
整理得：（x﹣2）2＝7， 开方得：x﹣2＝±解得：x1＝2+
，
；
，x2＝2﹣
（2）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝16+12＝28＞0， ∴x＝
＝
＝
，
解得：x1＝，x2＝；
（3）方程移项得：2y2+4y﹣（y+2）＝0，
变形得：2y（y+2）﹣（y+2）＝0，即（y+2）（2y﹣1）＝0， 所以y+2＝0或2y﹣1＝0， 解得：y1＝﹣2，y2＝；
（4）方程分解得：（x+1+2）2＝0，即（x+3）2＝0， 所以x+3＝0， 解得：x1＝x2＝﹣3．
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，请用尺规在AC上找一点P，使得BP＝AC．
【分析】作线段AC的垂直平分线EF交AC于点P，点P即为所求． 解：如图，点P即为所求．
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BD＝4，AC＝6，求菱形的周长．
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝2，AC⊥BD，则∠AOB＝90°，再由勾股定理求出AB＝解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，AC＝6，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝AC＝3，OB＝BD＝2，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴AB＝
＝
． ＝
，
＝
，即可求解．
∴菱形的周长＝4AB＝4
17．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC． 求证：FN＝EC．
【分析】只要判定△FNE≌△EBC，就不难证明FN＝EC． 【解答】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中， AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°， ∵AB＝2BC，即BC＝BN＝AB， ∴BN＝BE，即N为BE的中点， ∴EN＝NB＝BC， ∴△FNE≌△ECB， ∴FN＝EC．
18．如图，在长14米、宽10米的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的小路，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为117平方米，
求小路的宽度．
【分析】题目中的等量关系为：草坪的面积＝矩形的面积﹣走道的面积，列出方程求解即可．
解：设走道的宽为x米，根据题意得：（1﹣x）（10﹣x）＝117 解得：x＝23（舍去）或x＝1， 答：走道的宽为1米．
19．AB＝AC，D为边BC上一点，BD为邻边作平行四边形ABDE，如图，在△ABC中，以AB、连接AD、EC．若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．
【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形 ∴BD∥AE（即AE∥CD），BD＝AE， 又∵BD＝CD， ∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形； 在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴▱ADCE是矩形．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m） ＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根． （2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m， ∴
+
＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10， ∴m2﹣2m﹣3＝0， ∴m＝﹣1或m＝3
21．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，若AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠BAO＝∠ABO，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，再由等腰三角形的性质可证BD⊥AC，即可得出结论；
（2）证AO＝BO，得AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵AE＝CE， ∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：四边形ABCD是正方形，理由如下： 由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB＝90°， ∵∠BAO＝∠ABO， ∴AO＝BO， ∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形． 22．阅读下面解方程的过程：
解方程（x2﹣）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±故原方程的解为x1＝
，x2＝﹣
；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±，x3＝
，x4＝﹣
．
．
由方程得到①的过程，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 解答下列问题：
利用换元法解方程：（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0．
【分析】设y＝x2+x，方程变形后，利用因式分解法求出y的值，进而求出x的值即可． 解：设y＝x2+x，方程变形得：y2+2y﹣8＝0， 分解因式得：（y﹣2）（y+4）＝0， 所以y﹣2＝0或y+4＝0， 解得：y＝2或y＝﹣4，
所以x2+x＝2或x2+x＝﹣4（无解）， 分解因式得：（x﹣1）（x+2）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2．
23．如图1，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（8，4），点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发，在边OA，BC上运动，连接OQ，BP，当点P到达A点时，运动停止． （1）求证：在运动过程中，四边形OPBQ是平行四边形；
（2）如图2，在运动过程中，是否存在四边形OPBQ是菱形的情况？若存在，求出此时直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的情况下，直线PQ上是否存在一点D，使得△PBD是直角三角形？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接根据一组对边平行又相等的四边形是平行四边形即可得到结论； （2）先设BQ＝OP＝x，依次表示各点坐标与相应线段长，再利用菱形的判定，令一组邻边相等建立关于x的方程，解方程后，则各点坐标确定，然后利用待定系数法即可求出答案；
（3）先设出D点的坐标，再分别表示出BP2，PD2，BD2，利用勾股定理分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵点P，Q同时以相同的速度分别从点O，B出发， ∴BQ＝OP， ∵矩形OABC， ∴BQ∥OP，
∴四边形OPBQ是平行四边形； （2）存在，理由如下：
∵矩形OABC且点B的坐标为（8，4）， ∴OA＝CB＝8，OC＝AB＝4， 设BQ＝OP＝x， ∴AP＝8﹣x，
∴BP2＝AP2+AB2＝（8﹣x）2+42， 当四边形OPBQ是菱形时，则BP＝OP， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5，
∴CQ＝BC﹣BQ＝8﹣x＝3， ∴P（5，0），Q（3，4）， 设直线PQ的解析式为：y＝kx+b， ∴
，
∴，
∴直线PQ的解析式：y＝﹣2x+10； （3）由（2）知BP＝OP＝5， 设D（m，﹣2m+10），
∴PD2＝（m﹣5）2+（﹣2m+10）2＝5m2﹣50m+125， BD2＝（m﹣8）2+（﹣2m+10﹣4）2＝5m2﹣40m+100， 当BD2＝BP2+PD2时，5m2﹣40m+100＝52+5m2﹣50m+125， ∴m＝5，
此时，﹣2m+10＝0，
∴D（5，0），此时D点与P点重合，不合题意，舍去； 当BP2＝BD2+PD2时，52＝5m2﹣40m+100+5m2﹣50m+125， ∴m1＝4，m2＝5（舍去）， 此时，﹣2m+10＝2， ∴D（4，2）；
当DP2＝BD2+BP2时，5m2﹣50m+125＝52+5m2﹣40m+100， ∴m1＝0，
此时，﹣2m+10＝10， ∴D（0，10），
综上所得，D（4，2）或（0，10），
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容