山西省晋中市榆次区2020-2021学年度第一学期八年级数学期中测试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．9的平方根是（ ） A．3

B．±3

C．﹣3

D．±3 2．下列实数

222，，9，37，0，2，3.1010010001…（相邻两个1之间072的个数逐次加1）中有理数的个数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

3．我们学习了一次函数的图象和性质，回顾学习过程，是按照列表、描点、连线得到其图象，然后根据图象研究其性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A．分类讨论

B．数形结合

C．转化

D．抽象

4．下列各组数，不可以作为直角三角形的三边长的是（ ） A．6，8，10

B．4，6，8

C．0.3，0.4，0.5

D．7，24，25

5．和数轴上的点一一对应的数是（ ） A．自然数

B．有理数

C．无理数

D．实数

6．x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x1

B．x1

C．x1

D．x1

(3,1)，(1,2)，7．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为(1,1)，

那么第四个顶点的坐标为（ ） A．(3,2)

B．(2,3)

C．(3,3)

D．(2,2)

8．一个正数的两个平方根分别为a3和42a，则这个正数为（ ） A．7

B．10

C．10

D．100

9．一次函数y1k1xb1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，

l2的函数表达式为y2k2xb2．下列说法中错误的是（ ）

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A．k1k2 B．b1b2 C．k1k2 D．当x5时，

y1y2

10．已知一次函数y1是（ ）

axb和y2bxa（ab0且ab），这两个函数的图象可能

A． B．

C． D．

二、填空题

11．的立方根是_______．

12．已知A(m,n)在第二象限，则点B(n,m)在第______象限．

13．已知点2,y1，则y1______y2．（填“<”或“>”2,y2都在直线y2x3上，或“=”）

14．(3)2______．

15．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点P4(1,1)，P1(0,1)，P5(2,1)，2(1,1)，P3(1,0)，P试卷第2页，总6页

P6(2,0)，…，则点P2020的坐标是______．

16．请仔细阅读材料并完成相应的任务．

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？

（1）由1031000，10031000000，11000593191000000，确定359319是______位数；

（2）由59319的个位数字是9，确定359319的个位上的数是______；

（3）如果划去59319后面的319得到数59，而3327，43，确定359319的十位上的数是______．

三、解答题

17．在计算623243的值时，小亮的解题过程如下： 解：原式=623243

26324① 32188②

(21)188③

10④

（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第_________步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程．

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18．计算． （1）1532 （2）(321)2 519．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,2)，

B(2,2)，C(4,1)．

（1）在图中作出ABC关于y轴对称的图形A1B1C1；点C1的坐标为______； （2）判断ABC的形状并说明理由； （3）在图中找一点D，使AD26，CD17．

20．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”

译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈10尺）

21．书籍是人类进步的台阶．为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．

试卷第4页，总6页

（1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式；

（2）小红准备租某本名著50天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算？

22．已知正比例函数yx和一次函数ykxb的图象交于点A(a,2)，一次函数的图象与y轴交于点B(0,4)，与x轴交于点C．

（1）求a的值和一次函数表达式； （2）求△AOC的面积．

23．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

试卷第5页，总6页

（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是______．

（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．

试卷第6页，总6页

参

1．B 【分析】

根据平方根的定答即可． 【详解】

解：9的平方根是3． 故选：B． 【点睛】

本题考查了平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握平方根的的概念是解题关键． 2．B 【分析】

根据实数的分类可直接进行排除选项． 【详解】 由实数

222，，9，37，0，2，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐7222，9，0，共3个； 7次加1），则有理数的有故选B． 【点睛】

本题主要考查实数的分类，正确理解实数的概念是解题的关键． 3．B 【分析】

根据几种数学思想的定义选出正确选项． 【详解】

解：研究一次函数的图象和性质利用的数形结合的思想． 故选：B． 【点睛】

本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义． 4．B 【分析】

根据勾股定理的逆定理即可得．

答案第1页，总12页

【详解】

A、6282102，可以作为直角三角形的三边长，此项不符题意；

B、426216365282，不可以作为直角三角形的三边长，此项符合题意； C、0.320.420.52，可以作为直角三角形的三边长，此项不符题意； D、72242252，可以作为直角三角形的三边长，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题关键． 5．D 【分析】

根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出． 【详解】

解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系． 故选：D． 【点睛】

本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数． 6．A 【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x-1≥0，再解即可． 【详解】

解：由题意得：x-1≥0， 解得：x≥1， 故选：A． 【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 7．A 【分析】

答案第2页，总12页

根据长方形对边平行且相等，利用横坐标与纵坐标和已知点的横坐标或纵坐标相同即可求出第四点坐标． 【详解】

在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（-1，2），两点的横坐标相同，这两点连线平行y轴，第四点与（3，-1）连线也平行y轴，则第四点的横坐标为3，由于在平面直角坐标系中的坐标分别为（-1，-1），（3，-1）纵坐标相同，此两点连线平行x轴，为此（-1，2），与第四点两线平行x轴，则第四点的纵坐标为2，所以第四点的坐标为（3，2）， 故选择：A． 【点睛】

本题考查长方形的第四点坐标问题，掌握长方形的性质，会利用平行x轴或y轴，两点的横坐标或纵坐标相等来解决问题是关键． 8．D 【分析】

正数的两个平方根a3和42a互为相反数，可列方程a3+42a=0，解方程求出a，再求a3即可． 【详解】

一个正数的两个平方根分别为a3和42a， 利用正数两个平方个的性质，它们是互为相反数，

2a3+42a=0，

7a=0， a=7， a3=10，

a32102100．

故选择：D． 【点睛】

本题考查平方根的性质，掌握平方根的定义与性质，会用平方根的性质构造方程，会解方程是解题关键． 9．C 【分析】

答案第3页，总12页

由题意得l2是由l1向下平移所得到的，则可得k1、k2的关系，由图像进而可判断b1、b2的大小关系，最后排除选项即可． 【详解】

解：由将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，则有：k1k2，根据图像可得b1b2，当x5时，y1y2，故选项A、B、D正确，选项C错误； 故选C． 【点睛】

本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 10．D 【分析】

讨论a，b同号，a，b异号，根据一次函数的性质回答即可． 【详解】

解：当a0，b0 时，y1经过第一、二、三象限，y2经过第一、二、三象限，选项D正确；

当a0，b0 时，y1经过第一、三、四象限，y2经过第一、二、四象限； 当a0，b0 时，y1经过第二、三、四象限，y2经过第二、三、四象限； 当a0，b0 时，y1经过第一、二、四象限，y2经过第一、三、四象限； 故选：D． 【点睛】

本题考查一次函数的图像和性质，正确理解一次函数的图像和性质是解题的关键． 11．4. 【分析】

根据立方根的定义即可求解. 【详解】 ∵43=， ∴的立方根是4 故答案为4

答案第4页，总12页

【点睛】

此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 12．四 【分析】

根据平面直角坐标系象限的点的坐标特点可直接进行求解． 【详解】

由A(m,n)在第二象限，则有：m0,n0， ∴点B(n,m)在第四象限； 故答案为四． 【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系象限中点的坐标，熟练掌握象限中点的坐标特征是解题的关键． 13．< 【分析】

利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质找出结论亦可）． 【详解】

解：∵点（-2，y1）、（2，y2）都在直线y=2x-3上， ∴y1= -7，y2= 1． ∵-7＜1， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键． 14．3 【分析】

根据算术平方根的定义即可得． 【详解】

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(3)233，

故答案为：3． 【点睛】

本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键． 15．(673,1) 【分析】

0)， P6 (2，0)，0)，P3n+1(n，-1)，观察题图可知，先根据P3(1，即可得到P3n(n，再根据P3×673(673，0) ，可得P2019 (673，0)，进而得到P2020(673，-1)． 【详解】

··由图可知P3(1，0)， P6 (2，0)，·，P3n(n，0)，P3n+1(n，-1)， ∵3×673=2019，

∴P3×673(673，0) ，即P2019 (673，0)， ∴P2020(673，-1)． 故答案为：(673,1)． 【点睛】

本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形的变化规律得到P3n(n，0)． 16．（1）两 （2）9 （3）3． 【分析】

（1）根据题意可以确定为两位数；

（2）只有9的立方的个位数字才是9，据此可判断； （3）33＜59＜43，据此可判断． 【详解】

解：（1）∵103=1000，1003=1 000 000，而1000＜59319＜1000000， ∴10＜359319＜100， 因此结果为两位数； 故答案是：两；

（2）因为只有9的立方的个位数字才是9，因此结果的个位数字为9， 故答案是：9；

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（3）∵33＜59＜43，因此可以确定359319的十位上的数是3． 故答案为：3． 【点睛】

考查实数的意义，立方根的意义以及立方的尾数特征等知识，理解题意是关键． 17．（1）③；（2）答案见解析． 【分析】

根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】

解：（1）二次根式加减时不能将根号下的被开方数进行加减，故③错误， 故填③；

（2）原式=2188 =6222 =42 【点睛】

本题考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．

18．（1）1；（2）1962 【分析】

（1）先计算二次根式的乘除法，约分化简，再计算加减法即可， （2）利用乘法公式展开，合并即可． 【详解】 （1）15315322321，

55（2）321【点睛】

2186211962．

本题考查二次根式的混合运算问题，掌握二次根式的性质，熟悉乘法公式，掌握二次根式的运算顺序，会准确计算是关键．

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19．（1）见解析，(4,1)；（2）ABC是直角三角形，理由见解析；（3）见解析 【分析】

（1）先描出点B、C关于y轴对称的点，然后依次连线即可，最后根据图像求出点C1的坐标即可；

（2）根据勾股定理逆定理可直接进行求解； （3）根据勾股定理可直接进行求解． 【详解】

解：（1）如图，A1B1C1即为所求作的图形，点C14,1， 故答案为4,1；

（2）ABC是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得AB220，BC25，AC225， ∴AB2BC2AC2， ∴ABC是直角三角形； （3）如图点D即为所求，

．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换及勾股定理及其逆定理，熟练掌握平面直角坐标系中图形的变换及勾股定理及其逆定理是解题的关键． 20．原处还有【分析】

由题意得到折后竹子竖直高度“+”斜倒部分的长度=10尺，再运用勾股定理列方程即可求

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91尺高的竹子． 20

解． 【详解】

解：设原处还有x尺高的竹子，

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2BC2AB2， 所以x3(10x)，x22291． 20答：原处还有

91尺高的竹子． 20

【点睛】

此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解

21．（1）y10.3x，y2200.2x；（2）当x50时，选择使用租书卡比较合算，当y90时，选择会员卡比较合算． 【分析】

（1）利用待定系数进行求解即可；

（2）分别算出当x50时y的值，与当y90时x的值，然后选择符合题意的即可． 【详解】

（1）设l1的函数解析式为y1=k1x， 将x=200，y=60代入y1=k1x得：60=200k1， 解得k1=0.3，

∴设l1的函数解析式为：y10.3x，

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设l2的函数解析式为y2=k2x+b2，

将x=0，y=20与x=200，y=60分别代入y2=k2x+b2得：

b220， 200kb6022k20.2解得，

b202∴l2的函数解析式为y2200.2x；

（2）当x50时，y10.35015，y2200.25030， ∴y1y2，

∴选择使用租书卡比较合算； 当y90时，x1300，x2350， ∴x1x2，

∴选择会员卡比较合算． 【点睛】

本题主要考查一次函数的实际应用，解此题的关键在于根据一次函数图象利用待定系数法确定函数关系式．

22．（1）a2，yx4；（2）4 【分析】

（1）根据正比例函数解析式求得a的值，进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的解析式，令y=0求得点C的坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】

解：（1）将(a,2)代入yx中，得到a2，∴A(2,2)． 将A(2,2)，B(0,4)代入ykxb中，得22kb，4b， 解得k1．

∴一次函数表达式的表达式为yx4．

（2）将y0代入yx4，得x4，∴C(4,0)，∴OC4，

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1S△AOC424．

2【点睛】

此题综合考查了待定系数法求函数解析式、直线与坐标轴的交点的求法，三角形面积，关键是根据正比例函数解析式求得a的值.

23．（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2）；②证明见解析；（2）S1S2S3；（3）7.5． 【分析】

（1）①根据勾股定理的内容即可得；

②图1和图2：利用四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和等于大正方形的面积即可得；图3：利用三个直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积即可得； （2）根据勾股定理、圆的面积公式即可得；

（3）根据阴影部分的面积等于以两直角边为直径的两个半圆面积与直角三角形的面积之和减去以斜边为直径的半圆面积即可得． 【详解】

（1）①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2b2c2）； ②图1：大正方形的面积为c2，

四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4则a2b2c2；

图2：大正方形的面积为(ab)a2abb， 四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4则a22abb2c22ab， 即a2b2c2；

22212abbaa2b2， 21abc2c22ab， 2ab11aba2abb2， 222111212三个直角三角形的面积之和为ababcabc，

2222图3：直角梯形的面积为

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则

1211aabb2abc2， 222即a2b2c2；

S2对应的直角边长为b，S3对应的斜边长为c， （2）设S1对应的直角边长为a， a1由圆的面积公式得：S1a2，

42b1S2b2，

42c1S3c2，

42由勾股定理得：a2b2c2， 则

222121212abc， 444即S1S2S3， 故答案为：S1S2S3；

（3）设直角三角形的两直角边长分别为a3,b5，斜边长为c， 由（2）可知，a1421212bc， 44222ab1c则阴影部分的面积为ab， 22221111a2b235c2， 44247.5，

故答案为：7.5． 【点睛】

本题考查了勾股定理的定义、证明、以及应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．

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