2019-2020年高三数学 等差数列及其前n项和导学案

【学习目标】

①理解等差数列的概念；

②探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；

③体会等差数列通项公式与一次函数的关系；等差数列前n项和公式与二次函数的关系； ④掌握等差数列的一些基本性质； 【自主学习】 一.要点梳理 1、等差数列的定义

如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。 2、等差数列的通项公式

若等差数列an的首项为a1，公差是d，则其通项公式为 ;掌握公式的推导

方法 3、等差中项

如果三个数a,A,b成 ，则A叫做a和b的等差中项，且有A= 4、等差数列的前n项和公式

Sn = = （二次型）;掌握公式的推导方法 5、等差数列的判定方法

（1）定义法：  an是等差数列 （2）等差中项：  an是等差数列 （3）通项公式法：  an是等差数列 （4）前n项和法：  an是等差数列 6、等差数列的性质

(1)通项公式的推广：anam （2）若an是等差数列，且klmn,k,l,m,nN，则 （3）若an是等差数列 ，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为

（4）若an是等差数列 ，则ak,akm,ak2m,k,mN组成公差为 的等差数列。

（5）若an、bn是等差数列 ，则panqan是 7、 等差数列与等差数列各项和有关的性质

（1）若an是等差数列，则公差的

Sn也成 数列，其首项与an首项相同，公差是ann（2）Sm,S2m,S3m分别是an的前m项，前2m项，前3m项的和，

Sm,S2mSm,S3mS2m 成等差数列 ，公差为 （3）若项数为偶数2n的等差数列an有

S2nna1a2nnanan1an,an1为中间两项 ；S偶S奇 ，

S偶S奇

（4若项数为奇数2n1的等差数列an有 S2n12n1an,an是中间项；S偶 S奇 ，S偶S奇 ，

S偶S奇

（5）若an、bn是等差数列 ，设其前n项和分别为 Sn,Tn，则

an bn（6）an是等差数列①若a10,d0,Sn有 值，何时取最值可由不等式组

an0或关于n的二次函数Sn的对称轴来确定。 a0n1 ② 若a10,d0,Sn有 值，何时取最值可由不等式组二次函数Sn的对称轴来确定。

 （7）等差数列an中，①若amn,anmmn,m,nN，则 amn 等差数列an中，②若Snm,Smn,mn,m,nN，则Smn 等差数列an中，③若SnSm,mn,m,nN，则 Smn an0或关于n的

an10 8、常用的方法与技巧

（1）三数成等差数列的设法：ad、 、 ，d为公差。

四数成等差数列的设法：a3d、 、 、a3d ，公差 。 （2）会用方程的思想处理等差数列的有关问题：等差数列的通项公式和前n项和公式涉及

五个量：a1,d,n,an,Sn，“知三求二”，同时还应注意整体代换。

二、基础自测

1、等差数列an的前n项和为Sn，若a21,a33，则S4 …… （ ） A、12 B、10 C、8 D、6

2、等差数列an中，已知a11,a2a54,an33，则n为……（ ） 3 A、48 B、49 C、50 D、51

3、首项为-24的等差数列，从第十项起开始为正数，则公差d的取值范围是……（ ） A、d

888 B、d3 C、d3 D、d3 333 4、一个有限项的等差数列，它的前5项和为34,最后5项和为146，所有项和为234，则它

的第七项等于……（ ）

A、22 B、21 C、 19 D、18

5、设等差数列an、bn，其前n项和分别为 Sn,Tn，若对任意的自然数n都有

a9a3Sn2n3，则的值为 bbbbTn4n35784

【典例分析】

★等差数列的基本运算

例1、设an是一个公差为dd0的等差数列，它的前10项和S10110且a1,a2,a4成等

比数列。

（1）证明a1d；

（2）求公差d的值和数列an的通项公式。

例2、（2009安徽卷文）已知于……（ ）

A. -1

B. 1 C. 3 D.7

为等差数列，

，则

等

例3、（四川文7）等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12

例4、(2008全国Ⅰ卷理)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项

的和S10（ ） A．138

B．135

C．95

D．23

※练习：

1、等差数列an的前n项和为Sn，已知a1030,a2050。 （1）求通项及前n项和Sn； （2）若Sn242，求n。

2、在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10=……（ ） A、 24 B、 22 C、 20 D、-8

3、一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4、（2009福建卷理）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a3=4， 则公差d等于……

（ ）A．51 B C.- 2 D 3

325、（2009宁夏海南卷理）等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差列。若a1=1，

则s4=……（ ）

（A）7 （B）8 （3）15 （4）16

6、2009宁夏海南卷理）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am1+am1-a2m=0，S2m1=38,

则m=_______

7、(2008海南、宁夏文)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _____ 8、已知等差数列an中，a28，前10项和S10185。

（1）求数列an的通项公式；

（2）若从数列中依次取出第2，4，8，……，2，……项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新的数列的前n项和An

n

9、等差数列的前n项和为Sn，若S7S38，则S10 ；一般地，若

SnSmanm，则Snm 10、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a380，则a11a12a13等于……（ ）

A、 120 B、 105 C、 90 D、75

10、下表给出一个“等差数阵”：

4 7 （ ） （ ） …… 7 12 （ ） （ ） …… （ ） （ ） （ ） （ ） …… （ ） （ ） （ ） （ ） …… （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… …… …… …… …… …… …… aij a2j a3j a4j …… …… …… …… …… …… …… …… ai1 …… ai2 …… ai3 …… ai4 …… ai5 …… aij …… 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数。 （1）写出a45的值；

（2）写出aij的计算公式，以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。

11、已知fx411SaPa,nN，数列的前项和为，点在曲线nnnnn2xan1yfx上，且a11,an0，

（1）求数列an的通项公式

（2）数列bn的首项b11，前n项和为Tn，且

列bn 的通项公式

Tn1Tn216n8n3，求数22anan1★等差数列的判定

例5、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10n2,a11。 2 （1）求证：1是等差数列； Sn （2） 求an的表达式。

※练习：

11、已知数列an满足a14,an44n2，令，bn求证：数列bn 是等差数

a2an1n列。

n2、数列an满足an3an131n2，又a15，则使得an为等差数列的实数n3

3、设实数a0，且函数fxax12x21有最小值1，若数列an的前n项和aSnfn，令bn

a2a4a2n,n1,2,3,，求证：数列bn是等差数列。

n★等差数列的性质

例6、（1）设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36,Sn324，最后6项和为180n6，求数列的项数n及a9a10；

（2）等差数列an、bn设其前n项和分别为 Sn,Tn，且

（3）若Sn20,S2n38，则S3n ；

aSn3n1，求8的值。 b8Tn2n3（4）若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项及项数。 ※练习：

1、等差数列an中，a2a7a1224，则S13 2、已知等差数列an的前n项和为Sn为377，项数n为奇数，且前n项奇数项和与偶数项和

之比为7:6，则中间项为

3、等差数列an中，已知S918,an430(n9),Sn240，则n= 4、设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23,a611，则S7等于……（ ） A、13 B、35 C、 49 D、63

25、在各项均不为零的等差数列an中，若an1anan10n2，则S2n14n……（ ）

A、-2 B、 0 C、 1 D、2

6、如果a1,a2,a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则……（ ） A、a1a8a4a5 B、a1a8a4a5 C、 a1a8a4a5 D、a1a8a4a5 7、等差数列an的奇数项和为216，偶数项和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的

末和通项公式。

8、等差数列an中，其前n项和为Sn，a12008,S2007S20052，则S2008的值为 200720059、 等差数列an的公差为2，若a1a4a9750，则a3a6a99的值为 10、设Sn是等差数列an的前n项和，若

SS31，则6等于……（ ）

S12S63 A、

1113 B、 C、 D、

310Sn7n45，则使Tnn3 11、 已知两个等差数列an、bn，其前n项和分别为 Sn,Tn，且

得

an 为正整数n的个数是……（ ）。 bnA、 2 B、 3 C、4 D、5

★等差数列的前n项和的最值问题

例7、在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn

取得最大值，并求出它的最大值。 ※练习：

1、已知数列an，anN,Sn （1）求证：an是等差数列； （2）若bn

2、设等差数列an的前n项和为Sn已知a312,S120,S130.。 （1）求公差d的取值范围；

（2）S1,S2,S12中哪一个值最大？并说明理由。

1an22 81an30，求数列bn的前n项和为Sn的最小值。 2

3、在等差数列an中，其前n项和为Sn，若S150,S160，则在

中最大的是……（ ） A、

SS1S， 2 ，……，15a15a1a2SSSS1 B、8 C、 9 D、15

a15a1a8a94、在等差数列an中，a100,a110，且a11a10，若an的前n项和为Sn0，则n的最大值是……（ ）

A、17 B、 18 C、 19 D、20

5、(2008四川理)设等差数列an的前n项和为Sn，若S410,S515，则a4的最大值为

___________。

6、已知an是一个等差数列，且a21,a55。 （1）求an的通项公式

（2）求an的前n项和为Sn的最大值