德安县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若cos（A．

B．﹣

﹣α）=，则cos（C．

D．﹣

+α）的值是（

）

2． 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（ ）A．

B．

C．

D．2

3． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（

）

A．y=x+2　

B．y=C．y=3xD．y=3x3

4． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向次到第次反射点之间的线

点段记为（ ）

，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将

，

，将线段

竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是

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A

B

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C

D

5． 设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（ A．1

B．

C．

D．﹣1

）

6． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．7． 下列结论正确的是（

）

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A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α　

8． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ A．（　　

）

]

C．（

）

D．（

]，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

）B．（，

ex29． 已知函数f(x)=，关于x的方程f(x)-2af(x)+a-1=0（aÎR）有3个相异的实数根，则a的

x取值范围是（

）

ìe2-1e2-1e2-1ïe2-1üïA．(,+¥) B．(-¥,) C．(0,) D．íý2e-12e-12e-12e-1ïïîþ【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．

10．已知等比数列{an}的公比为正数，且a4•a8=2a52，a2=1，则a1=（ A．

B．2

C．

D．

）

11．已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（

）

A．3个B．2个C．1个D．无穷多个

12．某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ A．10

）1111]B．15

C．20

D．30二、填空题

13．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是　　　　　　．14．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于　_________　。

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15．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于　　．16．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为　　　　　　．17．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是　　　　　　．18．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是　　　　　　．　

三、解答题

19．计算下列各式的值：（1）

（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2．

20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

21．已知p：x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，q：x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0，x∈R，m∈R}（1）若A∩B=[0，3]，求实数m的值；

（2）若p是￢q的充分条件，求实数m的取值范围．

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22．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：甲的成绩乙的成绩第一次8275第二次8790第三次8691第四次8074第五次9095（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．　

23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．

（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

的值．

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24．设函数，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

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德安县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题

1． 【答案】B【解析】解：∵cos（∴cos（故选：B．　

2． 【答案】B

【解析】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，

∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+xA=3∴xA=2，∴yA=±2

，

=

．﹣α）=

，

﹣α）=﹣

．

+α）=﹣cos=﹣cos（

∴△AOF的面积为故选：B．

【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．　

3． 【答案】 C

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序运行后输出的是实数对

（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；这组数对对应的点在函数y=3x的图象上．故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．　

4． 【答案】C【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算

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所以：l1=|AE|=（2）l2长度计算

=13。

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）根据相识三角形易知：xE2=2xE=2×4=8，yE2=2yE=2×3=6，即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。5． 【答案】A【解析】解：y'=2ax，

于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选：A

【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．　

6． 【答案】

【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣所以

，2），A（0，﹣=（1，

，﹣2），

，0），B（1，0，0），C（0，

，0）

，

以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|

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（III）由（II）知则

设平面PBC的法向量=（x，y，z）则所以

=0，令

，设，

，，

，因为平面PBC⊥平面PDC，

，

平面PBC的法向量所以同理平面PDC的法向量所以所以PA=

=0，即﹣6+．

=0，解得t=

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力　

7． 【答案】B

【解析】解：A选项中，两个平面可以相交，l与交线平行即可，故不正确；B选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；

C选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D中选项也可能相交．故选：B．

【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．　

8． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ），则即m=

=m，

=

（sinφ×

+

cosαφ）=

sin（φ+

）

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当φ∈（则＜

，），则φ+

）＜

∈（，

，），

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．　

9． 【答案】D

yex1O第Ⅱ卷（共90分）

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10．【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，∴q2=2，∴q=∵a2=1，∴a1=故选：D　

11．【答案】B

【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，

在此范围内的奇数有1和3．

所以集合M∩N={1，3}共有2个元素，故选B．　

12．【答案】D【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样

，=

．

150050，故选D.30二、填空题

13．【答案】　2：1　．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r，所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1故答案为：2：1　

=πrl

14．【答案】

【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=

=

，

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圆的半径为r=，

∴sinθ==，

∴cosθ=，tanθ==，

∴tan2θ===，

故答案为：。

15．【答案】　4　．

【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+

．

）=f（）=2×=，

故答案为：4．　

16．【答案】　3x﹣y﹣11=0　．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，

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故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．　

17．【答案】　　．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．　

18．【答案】　2　．

【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2

．

[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，=2

．

=．

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．　

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）==

=5…

…

（2）（lg5）2+2lg2﹣（lg2）2=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2…

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=

20．【答案】

．…

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x，设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0），由h（x）＝ln x得h′（x）＝1，（x＞0），＝m

则有x0，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1.∴m的值为1.

（2）φ（x）＝1x2＋x＋a－ex，

2

φ′（x）＝x＋1－ex，令t（x）＝x＋1－ex，∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0，x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0，即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0，当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，

2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

21．【答案】

【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B=[0，3]

{1

x)第 15 页，共 18 页

∴∴∴m=2；

（2）∵p是¬q的充分条件，∴A⊆∁RB，而CRB={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，∴m＞5，或m＜﹣3．　

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）解法一：依题意有

，

，

答案一：∵答案二：∵

∴从稳定性角度选甲合适．

乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．

从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率

．

【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．　

23．【答案】

【解析】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

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∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴

设平面A1BC1的法向量为则

，

，

．

=（x2，y2，z2）．

．

，平面B1BC1的法向量为

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．

=

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为

=．

=．

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴∵∴∴

．

=

，∴

，，解得t=

．，

=（0，3，﹣4），

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【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．　

24．【答案】 【解析】解：∵

∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0；当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；

∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；且f（﹣）=﹣

﹣×+2×+5=5+

，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；

，

故fmax（x）=f（2）=7；

故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；故实数m的取值范围为（7，+∞）．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．　

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