第五章 图
5.3 图的遍历
和树的遍历类似，在此，我们希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次。这一过程就叫做图的遍历(TraversingGraph)。图的遍历算法是求解图 的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的基础。
然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多。因为图的任一顶点都可能和其余的顶点相邻接。所以在访问了某个顶点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。[例如]图7.1(b)中的G2，由于图中存在回路，因此在访问了v1,v2,v3,v4之后，沿着边(v4 , v1)又可访问到v1。为了避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中，必须记下每个已访问过的顶点。为此，我们可以设一个辅助数组visited[0..n-1]，它的初始值置为“假”或者零，一旦访问了顶点vi，便置visited[i]为“真”或者为被访问时的次序号。
通常有两条遍历图的路径：深度优先搜索和广度优先搜索。它们对无向图和有向图都适用。
5.3.1 深度优先搜索
深度优先搜索(Depth-First Search)遍历类似于树的先根遍历，是树的先根遍历的推广。
其基本思想如下：假定以图中某个顶点vi为出发点，首先访问出发点，然后选择一个vi的未访问过的邻接点vj，以vj为新的出发点继续进行深度优先搜索，直至图中所有顶点都被访问过。显然，这是一个递归的搜索过程。
现以图5-3-1中G为例说明深度优先搜索过程。假定v0是出发点，首先访问v0。因v0有两个邻接点v1、v2均末被访问过，可以选择v1作为新的出发点，访问v1之后，再找v1的末访问过的邻接点。同v1邻接的有v0、v3和v4，其中v0已被访问过，而v3、v4尚未被访问过，可以选择v3作为新的出发点。重复上述搜索过程，继续依次访问v7、v4 。访问v4之后，由于与v4相邻的顶点均已被访问过，搜索退回到v7。由于v7、v3和v1都是没有末被访问的邻接点，所以搜索过程连续地从v7退回到v3，再退回v1，最后退回到v0。这时再选择v0的末被访问过的邻接点v2，继续往下搜索，依次访问v2、v5和v6，止此图中全部顶点均被访问过。遍历过程见图5-3-1（b），得到的顶点的访问序列为：v0 → v1 → v3 → v7 → v4 → v2 → v5 → v7。
第五章 图
（a）无向图G (b) G的深度优先搜索过程
图5-3-1 深度优先搜索遍历过程示例
因为深度优先搜索遍历是递归定义的，故容易写出其递归算法。下面的算法5.3是以邻接矩阵作为图的存储结构下的深度优先搜索遍历算法；算法5.4是以邻接表作为图的存储结构下的深度优先搜索遍历算法。 算法5.3
int visited[NAX_VEX]={0}; void Dfs_m( Mgraph *G,int i){
/* 从第i个顶点出发深度优先遍历图G，G以邻接矩阵表示*/ printf(\"%3c\visited[i]=1;
for (j=0;jif((G->arcs[i][j]==1)&& (!visited[j])) Dfs_m(G,j); } /*Dfs_m */ 算法5.4int visited[VEX_NUM]={0}; void Dfs_L(ALgraph G,int i){
/* 从第i个顶点出发深度优先遍历图G，G以邻接表表示 */ printf(\"%3c\visited[i]=1; p=G[i].firstarc; while (p!=NULL)
{ if(visited[p->adjvex]==0) Dfs_L(G,p->adjvex); p=p->nextarc; }
} /*dfs_L*/
分析上述算法得知，遍历图的过程实质上是对每个顶点搜索其邻接点的过程。其耗费的时间取决于所采用的存储结构。假设图有>n个顶点，那么，当用邻接矩阵表示图时，搜索一个顶点的所有邻接点需花费的时间为>O(n)，则从>n个顶点出发搜索的时间应为>O(n2)，所以算法>5.1的时间复杂度是>O(n2)；如果使用邻接表来表示图时，需花费时间为>O（n+e)， 其中>e为无向图中边的数目或有向图中弧的数目。算法>5.4的时间复杂度为>O（n+e)。
第五章 图
5.3.2 广度优先搜索
连通图的广度优先搜索(Breadth_FirstSearch)遍历图类似于树的按层次遍历。其基本思想是：首先访问图中某指定的起始点Vi并将其标记为已访问过，然后由Vi出发访问与它相邻接的所有顶点Vj、 Vk„„，并均标记为已访问过，然后再按照Vj、Vk„„的次序，访问每一个顶点的所有未被访问过的邻接顶点，并均标记为已访问过，下一步再从这些顶点出发访问与它们相邻接的尚未被访问的顶点，如此做下去，直到所有的顶点均被访问过为止。 在广度优先搜索中，若对顶点V1的访问先于顶点V2的访问，则对V1邻接顶点的访问也先于V2邻接顶点的访问。就是说广度优先搜索中对邻接点的寻找具有“先进先出”的特性。因此，为了保证访问顶点的这种先后关系，需借助一个队列暂存那些刚访问过的顶点。 [例如]，下面以图5-3-1种G为例说明广度优先搜索的过程。假设从起点v0出发，那么首先访问vo和行动两个未访问的邻接点v1和v2；然后依次访问v1的邻接点v3和v4以及v2的邻接点v5和v6；最后访问v3的未曾访问的邻接点v7。此图中所有顶点均已被访问过，由此完成了图的遍历。遍历过程见图5-3-2，得到的顶点访问序列为： v0→v1→v2→v3→v4→v5→v6→v7 在广度优先搜索中，若顶点v在顶点u之前访问，则v的邻接点也将在u的邻接点之前访问。由此，可采用对列qu来暂存那些刚访问过并且可能还有未访问的邻接点的顶点。
v0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7
图5－3－2 广度优先搜索遍历过程 算法5.5
int visited[VEX_NUM]={0}; void Bfs(Mgraph G,int k){ int qu[20],f=0,r=0; printf(“%3c”,G.vexs[k]); visited[k]=1; r++;qu[r]=k; while (r!=f) { f++;i=qu[f];
for(j=p;jif(G->arcs[i][j]==1&&(!visitec[j])){ printf(“%3c”,G.vexs[j]); visited[j]=I;第五章 图
r++;qu[r]=j; } }
} /*Bfs*/
分析上述算法，一个有n个顶点、e条边的图，在广度优先搜索图的过程中，每个顶点至多进一次队列，所以算法中的内外循环次数均为n次，故算法Bfs的时间复杂度为O（n2）；若采用邻接链表存储结构，广度优先搜索遍历图的时间复杂度与深度优先搜索是相同的。