第一次课 第一章 三角形的证明
知识点一：等腰三角形 1、 全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS. 2、 等腰三角形的性质定理：
①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。
②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一”)
③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。（特殊线段相等）。
等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 知识点二：等边三角形
1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。 2、 等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
②三个角都相等的三角形是等边三角形。 知识点三：反证法
步骤：①假设：假设结论不成立；
②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论； ③假设不成立； ④原命题成立。 知识点四：直角三角形 1、 直角三角形性质定理：
①角的角度：直角三角形，两锐角互余。
②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、 直角三角形的判定定理：
①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。
②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此
三角形是直角三角形。） 3、 特殊的直角三角形：
①① 在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。 ②② 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。 4、“HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。
（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。） 知识点五：垂直平分线（点到点）
1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
性质定理 （垂直平分线 点到点的距离相等）
判定定理
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上） 知识点六：角平分线（点到边）
1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
2、 角平分线性质定理的符号语言：∵D在∠ABC的角平分线BM上，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF。 3、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 4、 平分线判定定理的符号语言（∠ABC）：∵DE⊥AB，DF⊥BC，且 DE=DF，所以D在∠ABC的角平
分线。 性质定理
（角平分线 点到边的距离相等）
判定定理
3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条
边的距离相等。 知识点七：尺规作图：
1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。②连接这两个交点。 2、等腰三角形的画法：①已知，求作②
例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。 已知：线段a和b.
求作：等腰三角形△ABC，使BC=B，高AD=a. 解：作法： ①.作射线BE；
②.在射线BE上取一点C，使BC=b； ③作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D； ④以点D为圆心，以a为半径画弧，交MN于A； ⑤连接AB、AC.
则△ABC就是所求作的三角形。 4、 角平分线的画法（∠ABC）：
①① 以角的顶点B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N； ②② 分别以M、N分别为圆心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧交于点O； ③③ 连接BO。
专题一：证明线段相等
1、如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE=EF，求证：AC=BF.
2、已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DE 。
专题二：证明角相等
3、如图，已知等边△ABC，现将△ABC折叠，使A点落在BC边上D点，折痕为EF，求证：∠BED=∠FDC．
4.已知:如图,△ABC（AB≠AC）中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF证:AE平分∠BAC
专题三：直角三角形的应用
5、工人师傅要测量A山山顶的垂线到山一脚的距离AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一B山已被开发成功.已知B山A山等高,且两山斜坡长度DF与NP也相等.若山已知距离BP为100米,那么能否直接判定A山距离AF也为100米呢 专题四：角平分线的应用 6、如图，，，，若，则_____?。 7、△ABC中,∠C=90°?DE⊥AB于D,交AC于E,若BC=BD,AC=5cm.则AE+ED=_________. A ? ． E 8、已知：线段a和b.
求作：等腰三角形△ABC，使AB=AC=a，高AD=b.
9、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE。
（1）线段BH与AC相等吗若相等给予证明，若不相等请说明理由。 （2）求证：
。
C
D B