非线性分数阶微分方程四点非局部边值问题

２０１２年８月　绵阳师范学院学报　Ａｕｇ．，２０１２　３１卷第８　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍｉａｎｖａｎ￣Ｎｏｒｍａｌ　Ｕ　Ｖ０１．３１　Ｎｏ．８　非线性分数阶微分方程四点非局部边值问题　罗华，胡卫敏　（伊犁师范学院数学与统计学院，伊宁８３５０００）　摘要：从两点到三点到ｍ点再到无穷多点，对常微分方程边值问题的研究最早始于牛顿和莱布尼茨建立微　积分的最初阶段。这些常微分方程多点边值问题也常常被称为常微分方程非局部问题。讨论阶数为ｑ　Ｅ（１，２）的　非线性分数阶微分方程四点非局部边值问题，借助Ａｓｃｏ￣一ＡｒＬｅｌａ定理，首先利用压缩映射原理得到解的唯一性，　其次利用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理得到四点边值问题至少存在一个解，并且举例验证。　关键词：四点边值问题；分数阶微分方程；Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数；压缩映射原理；不动点定理　中图分类号：Ｏ１７５．８　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２．．６１２ｘ（２０１２）０８－０００５－０６　０前言　近年来，分数阶微分方程在工程，科技，经济等众多领域都有重要的应用，对此问题的研究受到越来越　多的关注。随着非线性科学的发展，人们发现用分数阶微分方程能更准确地描述自然现象的变化规律。　因此，研究分数阶微分方程及分数阶微分方程的边值问题，对解决非线性问题意义重大。近两年，一些学　者开始运用非线性分析的方法，研究分数阶微分方程边值问题的一个或多个正解的存在性和唯一性。　本文研究这个非线性分数阶边值问题　Ｉ　磁　（ｆ）＝厂（ｆ，　（ｆ），（　）（ｆ），（　）（ｆ）），ｆ∈（０，１），１＜ｑ≤２　…　Ｉ　（ｏ）＋　（１）＝　、　（　），口　（ｏ）＋ｂ２ｕ　（１）＝ｄ２　（　）　、　＝［０，１］，。　＋是Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数，并且口１，ｂ１，ｄ１，口２，ｂ２，ｄ２都是实数，０＜　１　＜１，函数厂．Ｊ×Ｒ×Ｒ　×Ｒ—　满足后面的一些假设，Ｃ＝Ｃ（Ｊ，Ｒ），记Ｂａｎａｃｈ空间中所有连续映射　：．，一Ｒ，定义Ｘ，Ｙ：Ｊ×．，一［Ｏ，　∞］时的范数ＩＩ　Ｉ：＝ｓｕｐ｛Ｉ　（￡）Ｉ：￡∈Ｊ｝　（　）（ｆ）＝ｌ　ｔ，ｓ　（　）凼，（　）（ｆ）＝．Ｉ　ｃ＝　（ｆ，　（　）出　ｃ　＝ｓｕ　ｐ　［＇　（　１，　ｓｕ　ｐ　［＇　（　埘　１预备知识和引理　为了方便，在这一部分首先给出一些必要的分数阶计算定义和引理。　定义１．１［１　Ｉ２１：函数ｇ：［。，∞）一　，阶数为ｇ＞０的Ｃａｐｕｔｏ分数阶导数是指。　＋ｇ（ｆ）＝　（￡一　ｓ）　ｇ　（ｓ）ｄｓ，Ｉ＇Ｌ一１＜ｑ　ｓ　Ｉ１，，其中右边是在（０，∞）上逐点定义的。　定义１．２　：函数ｇ：［０，∞）一尺，阶数为ｑ＞０的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ的分数阶积分是指　丽１　．　收稿１３期：２０１２－０４－２５　回修日期：２０１２－０５－１６　基金项目：普通高校重点培育学科基金资助项目（ＸＪＺＤＸＫ２０１１００４）　作者简介：罗华（１９８７一）女，硕士研究生，主要研究方向：微分方程边值理论及其应用。　｝通讯作者：胡卫敏（１９６８一），男，教授，Ｅｍａｉｌ－７０４８０７０２２＠ＱＱ．ｔｏｍ　第３ｌ卷　绵阳师范学院学报（自然科学版）　・６・　定义１．３¨　：函数ｇ：［０，∞）一　，阶数为ｇ＞０的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ的分数阶导数是指　ｇ（　）＝ｆ　（丢］　，门一・＜ｇ　门，右边也是在（。，∞）上逐点定义的。　引理１．１［１，２　３：阶数为ｑ＞Ｏ的分数阶微分方程。Ｄ５＋　（　）＝０的一般解为　“（ｆ）＝ｃ。＋ｅｌｆ＋Ｌ＋　一１ｒ”～，ｃ　∈尺，ｉ＝０，１，２，Ｋ，门一ｌＩ？？＝［ｇ］＋１）．　引理１．２　，　：假设函数　∈ｃ（ｏ，１）ＮＬ（０，１），ｑ＞０阶导数属于ｃ（ｏ，１）ｆｑＬ（Ｏ，１），　Ｐｏ＋。Ｄ　＋ａ（ｔ）＝　（ｔ）＋ｃ０＋Ｃ１ｔ＋　＋Ｃｎ－１ｔ　一　，ｃ　∈Ｒ，ｉ＝Ｏ，１，２，Ｋ，ｎ一１，ｎ＝［ｑ］＋１．　引理１．３：设ｏｒ∈ｃ［０，１］，１＜ｑ　２，　』　哝“（ｆ）＝　），ｆ∈（０，１）　【　“（０）＋ｂｌ“　（１）＝　“　），ａ２ｕ（Ｏ）＋　“　（１）＝ｄ２“　：）　（２）　的唯一酬　镨∽　）　镨（　＋ｇ２（ｆ）　可（１－ｓ）ｑ－２　ａ　＋ｇ３（ｆ）　（３）　方程（２）的系数行列式△＝　专　一ｂ１）　一　）一（　一　）　一ａｉ）≠０　（４）　其中ｇ。　）：一（ｄ２－ａ２）ｄｌｔ－（ｄ２￣２－ｂ２）ｂ，，ｇ２（ｆ）：盟　，　）＝　证明：由引理２．２，对任意的ｃ。和ｃ　有　）＝，　）－ｃｏ－ｑｔ＝　）　一ｔ　一ｑ　（５）　当Ｐ，ｑ＞０，　∈Ｌ（Ｏ，１）时，根据性质　Ｄ　（ｔ）＝　（ｔ）和ＩｑＦｕ（ｔ）＝尸　“（ｔ）得到　，（ｆ）＝　错　＝　一　ａ　）　一　≤　（１一　）　Ｇ　）　ｑ－Ｉ　一　）　＝　≥；　一　一ａ（　）　＋　二　（１一　～　（　）　ｑ－１　＋　∽　引理１．４　（Ｂａｎａｃｈ压缩映射原理）令Ｕ是Ｂａｎａｃｈ空间Ｘ中的一个非空闭子集，而　是Ｕ到其自身内的　映射，它在Ｕ内满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，即对Ｖ　，Ｙ∈Ｕ有｝ｌ　Ｔｘ一　Ｉｌ　一Ｙ　ｌＩ．其中０　ｓ　ｓ　１（这里的　称　Ｉ　ｉＤｓｃｈｉｔｚ常狮、．刚Ｊ　存存睢一的　Ｕ彳市Ｔｘ　：ｚ　耳ⅡＴ在Ｕ内右睢一的不劫占　２　主要结果　为了证明主要结论，需要假设：　・一７・　罗　华等：非线性分数阶微分方程四点非局部边值问题　①存在正函数Ｌ　（ｔ），ｉ＝１，２，３使得ｔ∈Ｊ，　，秽∈Ｒ有　Ｉ厂　，　），（　）（ｆ），（１　）　））一／（ｆ，Ｖ（ｆ），（　）（ｆ），（ｙｖ）（ｆ　Ｉ　≤　。　）　一ｖｉｉ＋Ｌ２（ｔ）ｌｘｕ—ｘｑｌ＋￣，（ＯＩＶｕ—ｒｖｌＩ　②存在一个数ｙ使得Ａ－＜－Ｔ＜１，ｔ∈＇，有九＝Ｉ＋ｘ＋ｙｏ）ｌ￣＋丫－　三　ｔ）＋丫　Ｌ（１）＋Ｙ３Ｉ　三　）ｌ　＝ｓｕｐ　ｇ　（ｆ）ｌ～＝ｓｕｐ，ｌｇ：（ｆ）Ｉ～＝ｓｕｐ，Ｉｇ　（ｒ）ｌ　，ＥＪ　，∈Ｊ　ＩＧＪ　瑚ｘ　Ｌ　ｆ∈　Ｊ　’　（ｒ）ｌ’　，ｓｔｕＥＪ　ｐ　（　ｓ’　拒ｕ　　Ｊ　ｐｌ’　，　Ｌ３（ｒ）ｌ。ｊＪ　，　Ｉｑ－ｌＬ（１）＝ｍａｘ｛Ｉ　厶（１）　（１）　厶（１）１），　（　ｍａｘ｛Ｓ　厶（刮，ｌ　（　厶（钏），ｊ＝ｌ，２．　③对于所有（ｆ，　，Ｘｕ，Ｙｕ）∈Ｊ×Ｒ×Ｒ×Ｒ和　∈　（．，，Ｒ　）来说，有　埘（　），（　）（ｆ），（　）（　（ｆ）　定理２．１　：假设，．．，ｘ　Ｒ　ｘ　Ｒ×Ｒ一尺是连续函数，并且满足条件①，则（１）有唯一解。　证明：由（３）定义Ｆ：Ｃ－－＊Ｃ　（酬　）ｑ－，ｆ（　㈤　），（　）　厂Ｓ，Ｕ∽　），（　＋ｇ２∽　ｆ（ｓ，ｕ∽　）＇（　出　＋ｇ３（　）　（　（　（　（　））凼　设ｓｕｐｆＥ，Ｉｌｆ（ｔ，ｏ，ｏ，ｏ）　，尺　而Ｉｌ　・ｑ＋】，２口＋　Ｉ　Ａ　＜１，考虑Ｃ中有界闭凸集Ｄ　，Ｄ　＝｛　∈ｃ，Ｉｌｖｌｌ－＜Ｒ），Ｖｕ　Ｄｅ由条件①知　（　），（　）（　），（　）（　（　），（　）（　），（　）（　））一厂（　，０，０，ｏ）＋ｌｌｓ（　，０，０，ｏ）１　Ｉ厶（　）ＩＩ“（　）Ｉｌ＋厶（　）ｌ１　０＋厶（　）ｌｌｒ．１ｌ＋Ｍ－－－ｌ－￣（　）＋　（　）＋ｙｏＬ３（　）　“ＩＩ＋Ｍ　≤［厶（　）＋ｘｏＬ：（ｓ）＋３＇０Ｌ３（　）］　＋　首先由①②和（７），知Ｖ　∈Ｄ　有ＦＤＲ　ＣＤ　，可得　（　ｑ　ｚ，ｌ（ｒ）　ｗ　＋　）＋ｙｏＩ￣Ｌ３　＋　｝　＋　ｑ－ＸｏＩｑ－ｌＬ２（１）＋ｙｏｌｑ－ｉｚ３（１）］Ｒ＋　｝　＋ｙ３　（　）＋ｘｏＩｑＬ２　（　尺＋　｝　第８期　（６）　（７）　第３１卷　绵阳师范学院学报（自然科学版）　・８・　≤（１＋Ｘｏ＋　。）ｌＪ，　＋　，　Ｌ（　）＋　‘　Ｌ（Ｏ＋ｒＪ　Ｌ（考　）ｌ　＋丽Ｍ［１＋　￣１ａ＋Ｙ２ｑ＋Ｙ３纠　（８）　≤２Ｒ＋ｆｌ—ｒ）Ｒ　Ｒ　接着要证明Ｆ是压缩的，　，　∈Ｃ，ｔ∈Ｊ，由①得　ｌ１（　）（ｆ）一（　）（ｒ）『Ｉ　［，　厶（　）＋Ｘ０，　（　）＋ｙｏｌ　（　）］Ｉ　一Ｖ『Ｉ＋　［，　厶（　）＋　，，　（　。）＋　，，　（　．）］　“一ｖｌＩ　＋　［，　厶（１）＋　，　￡　（１）＋　一　（１）］Ｉｌ“一ｖＩ｛　＋　［，　厶（　）＋Ｘ０，　￡　（　）＋　，　三　（　）］　ｌ一ｖ『Ｉ：＝￣ｌ１．－ｖｌｆ　Ａ由　给出，当Ａ＜１时，Ｆ是压缩的，由引理２．４司知，（１）有唯一解。　下面，用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理证明（１）解的存在性。　引理２．１　：（Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理）设Ｄ是Ｂａｎａｃｈ空间　中的有界非空闭凸集，Ａ，Ｂ是Ｄ－－－，Ｘ的两个　映射，使得（　）当　，Ｙ∈Ｄ时有Ａｘ＋　Ｅ　Ｄ；（ｉｉ）Ｂ是一个压缩映射，即存在０　５　＜１　，对Ｖｘ，　∈Ｄ，有Ｉ　ｌＤｘ　～Ｄｘ，ｌ　Ｉ一　；（ｉｉｉ）Ａ在Ｄ是全连续的，则映射Ａ＋Ｂ在Ｄ上至少有一个不动点。　引理２．２　：（Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌａ定理）集合ＭＣｃ（ｊ，Ｒ　）相对列紧的充分必要条件是：　（ｉ）集合Ｍ中的函数一致有界，即存在常数Ｋ＞０，使得Ｖ　＝Ｈ（　），都有Ｉ　（ｔ）Ｉ＜Ｋ，Ｖｔ∈　；　（　）集合Ｍ中的函数等度连续，即对Ｖ　＞Ｏ，　＝　（　）＞Ｏ，使得当ｚ　∈　，　ｅＪ，Ｉｔ　一　Ｊ＜　时，对　Ｖ　ｕ＝Ｍ（ｔ）∈Ｍ都有Ｉ　（ｔ１）一Ｍ（ｔ２）Ｉ＜　．　定理２．２　：假设厂．．，ｘＲ×Ｒ　ｘＲ－－－，Ｒ是连续函数，将ＪｘＲ×Ｒ×Ｒ映射到Ｒ中的相对紧集．假设①③成立，　有　＝（１＋　＋　）　，　（　）＋７＂２１　Ｌ（１）＋　，　（　）Ｊ＜１，则（１）在Ｊ上至少存在一个解。　证明：若，≥　％［１＋　＋　＋　］，定义　＝　ｌ　（ｆ）　是　（，，　＋）中的范数，　Ｂ　＝｛Ⅱ∈Ｃ，ｌ　Ｉｕ　ｆｌ≤ｒ｝，Ｂ　是Ｂａｎａｃｈ　Ｃ中有界闭凸集。在Ｂ，上定义算子Ａ和Ｂ，　（　“）（ｒ）＝　一　）　，“（　），（　）（　），（　）（　））　（　（ｒ）＿ｇ１（　（　（　）　（　）（　））　＋ｇ１∽　㈩　＋岛（　）（　（　）（　））　因此　，　∈Ｂ，由③可知　啡　）　（　）　＋　一　）　＋　。　且口ｌ　ＩＡ“＋Ｂｖ　ｌｌ≤ｒ，所以　＋Ｂｖ∈Ｂ，．　同理，“，　∈Ｂ　，ｔ∈．，，由定理２．１的假设①，可知Ａ　＜１时Ｂ也是压缩映射　・９・　罗　华等：非线性分数阶微分方程四点非局部边值问题　第８期　算子Ａ在Ｂ，上是连续的并且是一致有界的。　（Ａｕ　ｌ＝　～　（　（州）　ｌｆ　ｑ＿１　而ＭＬ，詈　另一方面，我们定义ｓｕｐ（ｆ＇　）Ｅ。Ｉｆ厂（ｆ，“，Ｘｕ，Ｙｕ）ｌＩ＝Ｍ。，Ｑ＝　×　×　×　，　脆续的定　了对于每一　：　，　那么ｌＪ（Ａｕ）（ｔ　）一（Ａｕ）（ｔ１）ｌｌ＜　事实上，有　｝（　）（ｆ　）一（　“）（ｆ。）Ｉ　＝｝南　一　（训咄（　如一　～　（　（　］ｌ　南眦（　ｓ）　）（　（　））　（　一　）　厂（　（　），（　）（　），（　）（　））　Ｉ　≤　厂‘　’　＋　ｆ＝币ＭＩ　（　）＜￡　（１０）　综上所述，由引理２．２知Ａ是Ｂ　上紧算子，因此Ａ完全连续，引理２．１所有的假设均满足最后的结论，由　此可知，边值问题（１）在，上至少存在一个解。　３例题　幽　吉　＋　孚　凼＋　季　…　（１１）　“　。）＋甜　（・）＝‘　“（　），“ｃ。　＋“　ｃ　）＝　（　］．　（１２）　这里　＝　）＝　，№）＝孚，　＝　＝　，ａ２－１，　＝　＝　，　△＝△　，　，　＝孚，　，　：了　４７，　＝１　０，，　了’Ｘｏ＝　，　＝　２　（　一１５　）　’　ｓｕ　ｐ　㈤＝　，　：（１＋　＋　。）Ｉ　＋　，　（　．）＋７２１　Ｌ（１）＋ｙ３Ｊｒ　￡（色）ｆ　２０　＝　＋　３　０．０３６８６１６７３＜ｌ　第３１卷　绵阳师范学院学报（自然科学版）　・ｌＯ・　根据定理２．１，方程㈣在四点边值条件下，在－，上有唯一解。　参考文献：　［１］　Ａｈｍａｄ　Ｂａｓｈｉｒ，Ｓｉｖａｓｕｎｄａｒａｍ　Ｓ．Ｏｎ　ｆｏｕｒ—ｐｏｉｎｔ　ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｉｎｔｅｇｒｏ—ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｏｒｄｅｒ［ＪＪ．ＡｐｐＬ　Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐａｔ，２１７（２０１０）：４８０－４８７．　［２］　ｚｌ１ｏｕｗ—Ｘ，ＣｈｕＹ—Ｄ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｍｕｌｉ—ｐ０－ｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　Ｃｏｍｍｕｎ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｓｃｉ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｓｉｍｕｌａｔ，１７（２０１２）：１１４２—１１４８．　［３］尤秉礼．常微分方程补充教程［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８１：３５８—３６９．　［４］　葛渭高．非线性常微分方程边值问题［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００：３９－４６．　［５］郭大钧，孙经先，刘兆理．非线性微分方程泛函方法［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社．２００５：１９０—１９７．　［６］　Ａｈｍａｄ　Ｂａｓｈｉｒ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｉｒｒｅｇｕｌｒａ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１０，２３：３９０—３９４．　［７］　Ａ．Ｂａｂａｋｈａｎｉ　ａｎｄ　Ｖａｒｓｈａ　Ｄａｆｔａｒｄａｒ—Ｇｅｊｊｉ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆｒ　Ｎ—ｔｅｒｍ　Ｎｏｎ—ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎ．　ｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｏｓｉｔｉｖｉｔｙ，２００５，９：１９３—２０６．　［８］　ＺｈａｏＪｕｎ—Ｆ，ＧｅｎｇＦ—Ｊ，Ｚｈａｏ　Ｊｉａｎ—Ｆ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ａ　ｎｅｗ　ｋｉｎｄ　Ｓｔｕｒｍ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ—ｌｉｋｅ　ｆｏｔｔｒ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｃｏｍｐｕｔ，２０１０，２１７：８１１—８１９．　［９］Ｚｈｏｎｇ　Ｗ，Ｌｉｎ　Ｗ．Ｎｏｎｌｏｅａｌ　ａｎｄ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ—ｐｏｉｎｔ　ｏｂｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ　Ｍａｔｈ　Ａｐｐ，２０１０，１５９（３）：１３４５—１３５１．　［１０］Ｂａｉ　Ｚ—Ｂ，Ｌｕ　Ｈ—Ｓ．Ｐｏｓｉｉｔｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍａｔｈ　Ａｎａｌ　Ａｐｐｌ，２００５，３１１（２）：４９５—５０５．　［１１］Ｅｌ—Ｓｈａｈｅｄ　Ｍ，Ｎｉｅｔｏ　ＪＪ．Ｎｏｎｔｒｉｖｉｌａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆｒ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｍｕｌｉｔ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｏｒｄｅｒ［Ｊ］．Ｃｏｎｒ－　ｐｕｔ　Ｍａｔｈ　Ａｐｐ，２０１０１，５９（１１）：３４３８—３４４３．　Ｏｎ　４　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｏｃａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　ｏｆ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｏｒｄｅｒ　ＬＵ０　Ｈｕａ．ＨＵ　Ｗｅｉ—ｍｉｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｙｉｌｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，ＹｉＮｉｎｇ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ　８３５０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍ　ｔｗｏ　ｔｏ　ｔｈｒｅｅ，ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｔｏ山ｅ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ。ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓ　ｏｆ　ＢＶＰｓ（ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ）　ｏｆ　ＯＤＥ（ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ）ｗｅｒｅ　ｆｉｒｓｔ　ｓｔａｒｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｓｔａｇｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌｕｓ　ｓｅｔ　ｕｐ　ｂｙ　Ｎｅｗｔｏｎ　ａｎｄ　Ｌｅｉｂｎｉｚ．Ｔｈｅｓｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ａｌｓｏ　ｏｆｔｅｎ　ｒｅｆｅｒｒｅｄ　ｔｏ　ａｓ　ｎｏｎ—ｌｏｃａｌ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ａ　ｆｏｕｒ—ｐｏｉｎｔ　ｎｏｎ—Ｉｏ．　ｃａｌ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｏｒｄｅｒ　ｑ∈（１．．２）ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ，ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｈｅｌｐ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｚｅｌａ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ，　ｆｏｌｌｏｗｅｄ　ｂｙ　Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｆｏｕｒ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｉｓ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　ｏｎｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｆｏｕｒ—ｐｏｉｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｃａｐｕｔｏ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａ—　ｔｉｒｅ；ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ；ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ