均值不等式的证明方法

by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。

一般的均值不等式我们通常考虑的是2394cba696f23408bd05446317cffc.png:

一些大家都知道的条件我就不写了

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我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

1afde712f7516bc3fadae0ac7d3dd8b0.png

这样的步骤重复n次之后将会得到

d2e1c602442139f8d1fa927f1ae0d24d.png

令41e2e200ff9dd6e1b917223fc7fa0dda.png

由这个不等式有

7f72d80ae7db2704e3b6a96367f08bbb.png即得到

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这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

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例2：

5fbae4b36b1334157b0972df9e135404.png

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

59aa7a53279f0b791a404015bd3da8c8.png

例3：

d919ae49526d827cde74e33bac62f72f.png

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数f6a9abf330ff5be1ea04439704a68f.png是在R上单调递减

因此

1c109ffe59afb0971a13d3612105f605.png

我们要证明：

ecbc4341a1292afec94ba6e7dc7697d5.png

证明以下引理：

a5a575862e6a0067c5f0714611.png

4d4422f883636d40616b42d96cbe8b38.png

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

b46180259d42f7b5d88f14f68065d4.png，则四维：

06773bfe272e0af08ebfa0f8faa219e6.png

一直进行n次有

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png,

令41e2e200ff9dd6e1b917223fc7fa0dda.png

有d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

所以得到

d9737836260c618321d94d7b616c961c.png

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件